Java用牛顿算法无限循环寻找零点

Question

我的方法有问题，该方法采用 f(x)=x²+1 之类的多项式并使用牛顿算法计算可能的零点。
我已经给出了对特定变量的要求，所以即使命名不好或不需要变量，我也必须使用它们：/
我给我的方法作为参数的多项式是一个双数组：对于 f(x)=x²+1，它将是 {1.0,0.0,1.0} 所以它的构造类似于1.0*x^0 + 0.0*x^1+1.0*x^2

对于我的代码：
x0 是牛顿算法的起始值，eps 是计算的准确性

我按照我给定的说明操作并得到了以下代码：

public static double newton(double[] a, double x0, double eps) { 
    double z;
    double xn; 
    double xa = x0; 
    double zaehler;
    double nenner;

    do {
        zaehler = horner(a, xa);
        nenner = horner(ableit(a), xa);
        if(nenner == 0) {
            return Double.POSITIVE_INFINITY;
        }
        xn = xa - (zaehler/nenner);
        xa = xn;
    } while((Math.abs(horner(a, xn))) >= eps);
    z = xn;
    return 0;
}

horner() 方法针对给定 x 值计算给定函数的 y 值。

我的问题是，如果函数没有像 x²+1 这样的零点并且我以 x0=1 和 eps=0.1 开头，我会返回 Infinity。
但是如果我以x0=10 和eps=0.1 开头，例如我会创建一个无限循环。

我该如何处理或者这是牛顿算法的一般问题？！
是设置固定最大迭代次数的唯一方法吗？ 该代码适用于至少有一个零点的多项式！

Answer 1

Newton–Raphson 方法需要存在一个真正的根x，这样f(x)=0。您使用的函数x^2+1 没有真正的根，因此您的算法在这种情况下不起作用（在其他没有根的情况下也不起作用）。

由于x^2+1 >= 1 是所有真实的x 这意味着horner(a, xn) >= 1，所以循环

while((Math.abs(horner(a, xn))) >= eps)

不会因eps < 1 而终止。

也许在开始迭代之前，您应该检查是否存在零。 例如。如果最高（根据x 的幂）非零系数是奇数，那么将有一个真正的零。

或扩展您的算法，使其先前尝试找到一些真实的a和b，这样f(a)f(b) <= 0（然后在a和b之间有一个根）。