牛顿法：循环中的语句顺序

Question

我正在尝试在 Python 中实现牛顿的有趣方法，但我在概念上理解检查的位置时遇到了问题。

重温牛顿方法，通过微分重复线性逼近来逼近根：

我有以下代码：

# x_1 = x_0 - (f(x_0)/f'(x_0))
# x_n+1 - x_n = precision

def newton_method(f, f_p, prec=0.01):
    x=1
    x_p=1
    tmp=0

    while(True):
        tmp = x
        x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))
        if (abs(x-x_p) < prec):
            break;
        x_p = tmp

    return x

这可行，但是如果我将循环中的 if 语句移动到 x_p = tmp 行之后，该函数将停止按预期工作。像这样：

# x_1 = x_0 - (f(x_0)/f'(x_0))
# x_n+1 - x_n = precision

def newton_method(f, f_p, prec=0.01):
    x=1
    x_p=1
    tmp=0

    while(True):
        tmp = x
        x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))
        x_p = tmp
        if (abs(x-x_p) < prec):
            break;

    return x

为了澄清，函数 v1（第一段代码）按预期工作，函数 v2（第二段）没有。

为什么会这样？
原始版本不是本质上检查当前的x 与来自2 个分配的x，而不是之前的x？

这是我正在使用的测试代码：

def f(x):
    return x*x - 5

def f_p(x):
    return 2*x

newton_method(f,f_p)

编辑

我最终使用了这个版本的代码，它放弃了tmp 变量，并且在概念上对我来说更清晰：

# x_1 = x_0 - (f(x_0)/f'(x_0))
# x_n+1 - x_n = precision

def newton_method(f, f_p, prec=0.01):
    x=1
    x_p=1
    tmp=0

    while(True):
        x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))
        if (abs(x-x_p) < prec):
            break;
        x_p = x

    return x

Answer 1

更新

这会保存 x 的当前值

tmp = x

在此语句中，x 的下一个值是从当前值x_p 创建的

x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))

如果收敛（例如下一个值-当前值

if (abs(x-x_p) < prec):
    break;

将 x_p 设置为下一次迭代的值

x_p = tmp

如果您将x_p = tmp 拉到 if 语句上方，您实际上是在检查 2 次迭代前的 x 与 x`，这不是您想要做的。这实际上会导致奇怪的行为，其中结果的正确性取决于起始值。如果您从 x 开始，您会得到正确的响应，而如果您从 1 开始，则不会。

要对其进行测试并了解原因，添加如下打印语句会很有帮助。

def newton_method(f, f_p, prec=0.01):
    x=7
    x_p=1
    tmp=0

    while(True):
        tmp = x
        x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))
        print (x,x_p,_tmp)
        if (abs(x-x_p) < prec):
            break;
        x_p = tmp

---

您是否尝试检查 2 次迭代前的 X 与 X？还是循环上一次迭代中的 X？

如果您在 if 语句之前有 x_p=tmp，if (abs(x-x_p) < prec): 将检查 x 的当前值与 x 的先前版本，而不是 2 次分配前的 x

Answer 2

设x[i] 为要在迭代中计算的新值。

版本 1 中发生了什么：

声明x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p))) 转换为：

x[i] = x[i-2] - f(x[i-2])/f'(x[i-2]) - 1

但是按照实际的数学公式，应该是这样的：

x[i] = x[i-1] - f(x[i-1])/f'(x[i-1])

同样，x[i-1] = x[i-2] - f(x[i-2])/f'(x[i-2]) - 2

比较1和2，我们可以看到x[i] >1 根据数学公式，实际上是x[i-1]。

这里要注意的要点是x 和x_p 总是相隔一个迭代。也就是说，x 是x_p 的实际继承者，与仅查看代码看起来不同。

因此，它按预期正常工作。

版本 2 中发生了什么：

就像上面的例子一样，同样的事情发生在声明x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))。
但是当我们到达if (abs(x-x_p) < prec) 时，x_p 的值已更改为temp = x = x[i-1]。

但在版本 1 的情况下推断，x 也是x[i-1] 而不是x[i]。

所以，abs(x - x_p) 转换为 abs(x[i-1] - x[i-1])，结果为 0，因此终止迭代。

这里要注意的要点是x 和x_p 在数值上实际上是相同的值，这总是会导致算法仅在 1 次迭代后终止。