MATLAB中矩阵指数形式W * diag(S) * W'的矩阵的特征分解答案

【问题标题】：Eigen decomposition of a matrix of form W * diag(S) * W' for matrix exponential in MATLABMATLAB中矩阵指数形式W * diag(S) * W'的矩阵的特征分解
【发布时间】：2011-05-09 21:01:15
【问题描述】：

W 是一个又高又瘦的实值矩阵，diag(S) 是一个对角矩阵，由对角线上的 +1 或 -1 组成。我想要A = W * diag(S) * W' 的特征分解，其中单引号表示转置。主要问题是A 相当大。由于A 是对称的，秩不足，而且我实际上知道A 的最大秩（来自W），我想我应该能够有效地做到这一点。知道如何解决这个问题吗？

我的最终目标是在不使用 MATLAB 的 expm 的情况下计算 A 的矩阵指数，这对于大矩阵来说非常慢并且没有利用秩不足。如果A = U * diag(Z) * U'是特征分解，exp(A) = U * diag(exp(Z)) * U'。

虽然找到一个正交的U 使得W * diag(S) * W' = U' * diag(Z) * U' 看起来很有希望有一个简单的算法，但我需要一些线性代数的帮助。

【问题讨论】：

标签： matlab linear-algebra svd eigenvalue eigenvector

【解决方案1】：

我首先对 W 执行所谓的“瘦”QR 分解，然后计算 R*diag(S)*R' 的特征值分解，然后用它来计算 A 的 eig 分解。

N = 10;
n=3;
S = 2*(rand(1,n)>0.5)-1;
W = rand(N,n);

[Q,R] = qr(W,0);
[V,D] = eig(R*diag(S)*R');

%this is the non rank-deficient part of eig(W*diag(S)*W')
D_A = D;
V_A = Q*V;

%compare with
[V_full,D_full] = eig(W*diag(S)*W');

希望这会有所帮助。

一个。

【讨论】：

【解决方案2】：

MATLAB 实际上有一个用于检索最大（或最小）特征值和向量的实现。使用eigs(A,k) 获得最大的k。

要获得最大的，可以使用Power iteration 方法，或者更好的瑞利商迭代。

【讨论】：