两个 GMM 的 KL-Divergence

Question

我有两个 GMM，用于在同一空间中拟合两组不同的数据，我想计算它们之间的 KL 散度。

目前我正在使用 sklearn (http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.mixture.GMM.html) 中定义的 GMM 和 KL-divergence (http://docs.scipy.org/doc/scipy-dev/reference/generated/scipy.stats.entropy.html) 的 SciPy 实现

我该怎么做呢？我是否只想创建大量随机点，在两个模型中的每一个上获取它们的概率（称为 P 和 Q），然后使用这些概率作为我的输入？或者在 SciPy/SKLearn 环境中是否有一些更规范的方法可以做到这一点？

Answer 1

GMM 之间的 KL 散度没有封闭形式。不过，您可以轻松地进行蒙特卡罗。回想一下KL(p||q) = \int p(x) log(p(x) / q(x)) dx = E_p[ log(p(x) / q(x))。所以：

def gmm_kl(gmm_p, gmm_q, n_samples=10**5):
    X = gmm_p.sample(n_samples)
    log_p_X, _ = gmm_p.score_samples(X)
    log_q_X, _ = gmm_q.score_samples(X)
    return log_p_X.mean() - log_q_X.mean()

（mean(log(p(x) / q(x))) = mean(log(p(x)) - log(q(x))) = mean(log(p(x))) - mean(log(q(x))) 在计算上要便宜一些。）

你不想使用scipy.stats.entropy；这是离散分布。

如果您想要对称和平滑的 Jensen-Shannon divergence KL(p||(p+q)/2) + KL(q||(p+q)/2)，则非常相似：

def gmm_js(gmm_p, gmm_q, n_samples=10**5):
    X = gmm_p.sample(n_samples)
    log_p_X, _ = gmm_p.score_samples(X)
    log_q_X, _ = gmm_q.score_samples(X)
    log_mix_X = np.logaddexp(log_p_X, log_q_X)

    Y = gmm_q.sample(n_samples)
    log_p_Y, _ = gmm_p.score_samples(Y)
    log_q_Y, _ = gmm_q.score_samples(Y)
    log_mix_Y = np.logaddexp(log_p_Y, log_q_Y)

    return (log_p_X.mean() - (log_mix_X.mean() - np.log(2))
            + log_q_Y.mean() - (log_mix_Y.mean() - np.log(2))) / 2

（log_mix_X/log_mix_Y 实际上是两倍混合密度的对数；将其从平均操作中剔除可以节省一些失败。）