在给定累积概率的情况下获取随机变量的值（Python）

Question

这里是一个快速的背景信息。我正在尝试使用蒙特卡罗方法为两个对数正态随机变量的线性组合获得组合 CDF，然后将其反转以进行采样。这是执行相同操作的 Python 代码：

import numpy as np
from scipy import special


# parameters of distribution 1
mu1 = 0.3108
s1=0.3588

# parameters of distribution 2
mu2=1.2271
s2=0.2313

a = 2
b=3

N_sampling = 10000

kk=0

Y=np.zeros(N_sampling)
X1=np.zeros(N_sampling)
X2=np.zeros(N_sampling)

while(kk<N_sampling):
    F = np.random.rand(2)
    X1[kk]=np.exp(mu1+(2**0.5)*s1*special.erfinv(2*F[0]-1))  # sampling X1 (distribution1) by inverting the CDF
    X2[kk]=np.exp(mu2+(2**0.5)*s2*special.erfinv(2*F[1]-1))  # sampling X2 (distribution2) by inverting the CDF  
    
    Y[kk]=a*X1[kk]+b*X2[kk] # obtain the random variable as a linear combination of X1 and X2
    kk=kk+1
    

# Obtain the CDF of Y

freq, bin_borders = np.histogram(Y, bins=50)    
norm_freq = freq/np.sum(freq)
cdf_Y = np.cumsum(norm_freq)


# obtain the value of Y given the value of cdf_Y
cdf_Y_input=0.5
idx=np.searchsorted(cdf_Y,cdf_Y_input)
Y_out = 0.5*(bin_borders[idx-1]+bin_borders[idx])

问题：

scipy 中有直接的函数来执行这个操作吗？

在代码的最后一行，我取平均值，有没有办法通过插值等获得更准确的值？如果是这样，我如何在 Python 中实现它

Answer 1

如果您想从 2 个对数正态分布的总和中获取样本，则不需要蒙特卡洛方案。

import openturns as ot 
x1 = ot.LogNormal()
x1.setParameter(ot.LogNormalMuSigma()([0.3108, 0.3588, 0.0]))
# in order to convert mu, sigma into mulog and sigmalog

x2 = ot.LogNormal()
x2.setParameter(ot.LogNormalMuSigma()([1.2271, 0.2313, 0.0]))

x1 和 x2 之和本身就是一个分布

sum = x1+x2

您可以访问其平均值 sum.getMean()[0] (= 1.5379) 或其标准差 sum.getStandardDeviation()[0](= 0.42689241033309544)

当然，您可以获得任意大小 N 的样本 对于 N=5：sum.getSample(5)

print(sum.getSample(5))
0 : [ 1.29895 ]
1 : [ 1.32224 ]
2 : [ 1.259   ]
3 : [ 1.16083 ]
4 : [ 1.30129 ]

Answer 2

嗯，有一个众所周知的情况，当您将两个 RV X+Y 相加，知道 PDF_X(x)，PDF_Y(y) 并想知道PDF_X+Y(z)。您可以在这里使用类似的方法，计算 PDF 并制作 CDF=d PDF(z)/dz

PDF_aX+bY(z) = S dy PDF_Y(y) PDF_X((z-by)/a) / |一个|

S 表示集成。

您可以直接为 CDF 编写它

CDF_aX+bY(z) = S dy PDF_Y(y) CDF_X((z-by)/a)

你可以计算这个积分：

1. 分析

2. 数值上，使用SciPy

3. 前后做傅里叶变换，类似Convolution

4. 当然，蒙特卡洛积分始终是一种选择

更新

这里是最简单的代码让你开始

import numpy as np
from math import erf

SQRT2 = np.sqrt(2.0)
SQRT2PI = np.sqrt(2.0*np.pi)
    
def PDF(x):
    if x <= 0.0:
        return 0.0

    q = np.log(x)
    return np.exp( - 0.5*q*q ) / (x * SQRT2PI)

def CDF(x):
    if x <= 0.0:
        return 0.0

    return 0.5 + 0.5*erf(np.log(x)/SQRT2)    

import scipy.integrate as integrate
import matplotlib.pyplot as plt

a = 0.4
b = 0.6

N = 101

z = np.linspace(0.0, 5.0, N)
c = np.zeros(N) # CDF of the sum
p = np.zeros(N) # PDF of the sum
t = np.zeros(N) # CDF as integral of PDF

for k in range(1, N):
    zz = z[k]
    ylo = 0.0
    yhi = zz/b

    result = integrate.quad(lambda y: PDF(y) * CDF((zz - b*y)/a), ylo, yhi)
    print(result)
    c[k] = result[0]

    result = integrate.quad(lambda y: PDF(y) * PDF((zz - b*y)/a)/a, ylo, yhi)
    print(result)
    p[k] = result[0]

    t[k] = integrate.trapz(p, z) # trapezoidal integration over PDF


plt.plot(z, c, 'b^') # CDF
plt.plot(z, p, 'r.') # PDF
plt.plot(z, t, 'g-') # CDF as integral over PDF
plt.show()

图表