Python中与频率权重的排名相关性

Question

我的数据是一组 n 观察到的对及其频率，即每对 (x_i, y_i)里面对应一些k_i，次数(x_i,y_i) 被观察到。理想情况下，我想为这些对的所有副本的集合计算 Kendall 的 tau 和 Spearman 的 rho，其中包括 k₁ + k₂ + ... + k_n 对。问题是k₁ + k₂ + ... + k_n，观察的总数, 是巨大的，这样的数据结构不适合内存。

当然，我考虑分配第i对的频率，k_i/(k₁ + k2 + ... + k_n)，作为其权重，并计算加权集的等级相关性——但我找不到任何工具.在我遇到的各种加权等级相关性（例如，scipy.stats.weightedtau）中，权重代表等级而不是对的重要性，这与我的事业无关。 Pearson 的 r 似乎正好有我需要的加权选项，但它不符合我的目的，因为 x 和 y 没有线性相关。我想知道我是否遗漏了一些关于加权数据点的广义相关性的概念。

到目前为止我唯一的想法是缩小 k₁, k₂, ..., k_{n sub>} 乘以某个公因子 c，因此第 i 对的缩放副本数为 [k_i/c] （这里 [.] 是舍入运算符，因为我们需要每对有整数个副本）。通过选择 c 使得 [k₁/c] + [k₂/c] + ... + [kn/c] 对可以放入内存，然后我们可以计算结果集的相关系数 tau 和 rho。但是，k_i 和 k_j 可以相差多个数量级，因此 c i> 对于某些 k_i 可能非常大，因此四舍五入 k_i/c 会导致信息丢失。

UPD：可以在具有指定频率权重的数据集上计算 Spearman 的 rho 和 p 值，如下所示：

def frequency_pearsonr(data, frequencies):
    """
    Calculates Pearson's r between columns (variables), given the
    frequencies of the rows (observations).

    :param data: 2-D array with data
    :param frequencies: 1-D array with frequencies
    :return: 2-D array with pairwise correlations,
        2-D array with pairwise p-values
    """
    df = frequencies.sum() - 2
    Sigma = np.cov(data.T, fweights=frequencies)
    sigma_diag = Sigma.diagonal()
    Sigma_diag_pairwise_products = np.multiply.outer(sigma_diag, sigma_diag)
    # Calculate matrix with pairwise correlations.
    R = Sigma / np.sqrt(Sigma_diag_pairwise_products)
    # Calculate matrix with pairwise t-statistics. Main diagonal should
    # get 1 / 0 = inf.
    with np.errstate(divide='ignore'):
        T = R / np.sqrt((1 - R * R) / df)
    # Calculate matrix with pairwise p-values.
    P = 2 * stats.t.sf(np.abs(T), df)

    return R, P


def frequency_rank(data, frequencies):
    """
    Ranks 1-D data array, given the frequency of each value. Same
    values get same "averaged" ranks. Array with ranks is shaped to
    match the input data array.

    :param data: 1-D array with data
    :param frequencies: 1-D array with frequencies
    :return: 1-D array with ranks
    """
    s = 0
    ranks = np.empty_like(data)
    # Compute rank for each unique value.
    for value in sorted(set(data)):
        index_grid = np.ix_(data == value)
        # Find total frequency of the value.
        frequency = frequencies[index_grid].sum()
        ranks[index_grid] = s + 0.5 * (frequency + 1)
        s += frequency    

    return ranks


def frequency_spearmanrho(data, frequencies):
    """
    Calculates Spearman's rho between columns (variables), given the
    frequencies of the rows (observations).

    :param data: 2-D array with data
    :param frequencies: 1-D array with frequencies
    :return: 2-D array with pairwise correlations,
        2-D array with pairwise p-values
    """
    # Rank the columns.
    ranks = np.empty_like(data)
    for i, data_column in enumerate(data.T):
        ranks[:, i] = frequency_rank(data_column, frequencies)
    # Compute Pearson's r correlation and p-values on the ranks.
    return frequency_pearsonr(ranks, frequencies)


# Columns are variables and rows are observations, whose frequencies
# are specified.
data_col1 = np.array([1, 0, 1, 0, 1])
data_col2 = np.array([.67, .25, .75, .2, .6])
data_col3 = np.array([.1, .3, .8, .3, .2])
data = np.array([data_col1, data_col2, data_col3]).T
frequencies = np.array([2, 4, 1, 3, 2])

# Same data, but with observations (rows) actually repeated instead of
# their frequencies being specified.
expanded_data_col1 = np.array([1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1])
expanded_data_col2 = np.array([.67, .67, .25, .25, .25, .25, .75, .2, .2, .2, .6, .6])
expanded_data_col3 = np.array([.1, .1, .3, .3, .3, .3, .8, .3, .3, .3, .2, .2])
expanded_data = np.array([expanded_data_col1, expanded_data_col2, expanded_data_col3]).T

# Compute Spearman's rho for data in both formats, and compare.
frequency_Rho, frequency_P = frequency_spearmanrho(data, frequencies)
Rho, P = stats.spearmanr(expanded_data)
print(frequency_Rho - Rho)
print(frequency_P - P)

上面的特定示例表明两种方法产生相同的相关性和相同的 p 值：

[[  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00]
 [  1.11022302e-16   0.00000000e+00  -5.55111512e-17]
 [  0.00000000e+00  -5.55111512e-17   0.00000000e+00]]
[[  0.00000000e+00  -1.35525272e-19   4.16333634e-17]
 [ -9.21571847e-19   0.00000000e+00  -5.55111512e-17]
 [  4.16333634e-17  -5.55111512e-17   0.00000000e+00]]

Answer 1

Paul 建议的计算 Kendall tau 的方法很有效。但是，您不必将排序数组的索引分配为等级，未排序的索引同样可以正常工作（如加权 tau 示例中所示）。权重也不需要归一化。

常规（未加权）Kendall 的 tau（在“扩展”数据集上）：

stats.kendalltau([0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1],
                 [.25, .25, .25, .25, .2, .2, .2, .667, .667, .75, .6, .6])
KendalltauResult(correlation=0.7977240352174656, pvalue=0.0034446936330652677)

加权 Kendall 的 tau（在以出现次数为权重的数据集上）：

stats.weightedtau([1, 0, 1, 0, 1],
                  [.667, .25, .75, .2, .6],
                  rank=False,
                  weigher=lambda r: [2, 4, 1, 3, 2][r],
                  additive=False)
WeightedTauResult(correlation=0.7977240352174656, pvalue=nan)

现在，由于 weightedtau 实现的特殊性，永远不会计算 p 值。我们可以使用最初提供的缩小出现次数的技巧来近似 p 值，但我非常感谢其他方法。根据可用内存量来决定算法行为对我来说似乎很痛苦。