卷积的有效方法，如求和评估答案

【问题标题】：Efficient method for convolution like sum evaluation卷积的有效方法，如求和评估
【发布时间】：2015-12-09 02:40:58
【问题描述】：

问题给定 N 个 3 维点，它们是 {$p_1,p_2,..,p_n$} 其中 $p_i = (x_i,y_i,z_i) $ 。我必须找到公式的值

对于一些给定的常数整数 P、Q、R、S。所有数字都在 1 和 M (= 100) 之间。

我需要一个有效的方法来计算这个公式

请提供任何关于如何比 $O(n^2)$ 更好地降低复杂性的想法

【问题讨论】：

P, Q, R, S 和它们的表达式如Q(Yi - Yj) 应该是什么？
Alos，这与 FFT 和卷积有什么关系？
抱歉造成混淆，Q(Yi-Yj) 是 Q 和 (Yi-Yj) 的乘积，现已更正。
似乎可以使用卷积或 fft 等快速评估该表达式。没有具体原因
A) 我认为没有理由假设 FFT/卷积在这里会有效，但是 B) 我可能是错的，因为这实际上是一个实际编程问题而不是理论问题的站点。是的，这个问题兼而有之，但您可能会在 CompSci 网站之一上得到更好的回应：例如 cs.stackexchange.com。

【解决方案1】：

假设所有坐标都在 1 到 100 之间，那么您可以通过以下方式执行此操作：

这将产生 3d 矢量的 3d 直方图。然后，您可以遍历此直方图以计算您想要的值。

要点是计算值直方图的卷积计算这些值的成对差异的直方图。这也可以用于以类似方式计算值总和的直方图。

【讨论】：

【解决方案2】：

您的问题看起来像一个粒子势问题（例如您在电动力学中遇到的那种问题），您必须通过将来自 i-th 粒子的所有基本贡献相加来在位置 (x_j, y_j) 找到一些“势”。

专门针对这类问题的快速算法是快速多极法。查找这个关键字，但我必须警告你，它绝不是简单的理解或实现。需要强大的数学背景。

【讨论】：