如何计算远离圆周上一点的固定弧长的（x，y）

Question

我在这件事上花了这么多小时，我感觉我的理智在慢慢滑落。因此，任何帮助将不胜感激。 我会尽量简洁。

我在 2D 平面上有一个圆。我知道它的中心点（C）和半径（R）的笛卡尔坐标。

我的困惑源于这个问题。当在圆外的平面上提供一个点时；我可以计算最接近该点的圆周上的点（P）。

我想要做的是确定圆周上 2 个点的 (x,y) 坐标。我们称它们为 P1 和 P2。 P1和P2是圆弧的两端。弧的长度是固定的（X）。 P 是 P1 和 P2 之间的中点。因此，P 到 P1 和 P 到 P2 的弧长都是 X/2。

简而言之： 给定 C、R、P、X；我需要计算 P1 和 P2。

我正在尝试用 c++ 编写代码，但任何建议或伪代码都会很棒。

编辑： X 是弧长，不是 P1 和 P2 之间的直线

Answer 1

有一些事情可以提供帮助。不会写代码，但我想解决方案将基于三角形。考虑：

任何半径都是相同的长度。

因此从 P1-P1-C 绘制的三角形是等腰三角形。

任何切线都垂直于半径。

我很难在此时此地证明这一点，但如果你将线从 C 通过 P1/P2 延伸到与 C->P 处的圆相交的切线，也会形成等腰线。

从那里应该很容易弄清楚。

Answer 2

对角 θ（弧度）的弧的弧长为 θR。因此，您需要 θ = X/(2R) 的半角。然后，您需要获取向量 (P -C)，将其旋转 ±θ 角，然后在 C 中加回以获得 P1 和 P2。要将矢量旋转一个角度，请将其乘以 rotation matrix。

所以，在伪代码中，它看起来像这样：

θ = X/(2R)
A = 2x2 rotation matrix corresponding to a rotation by θ radians
A' = transpose of A
P1 = C + A * (P - C)
P2 = C - A' * (P - C)

Answer 3

在圆上，角度theta 对应于theta * R 的弧长，这意味着您的弧将对theta = X / R 的角度。所以如果从你的观点开始

P = C + R * (sin(u), cos(u))

然后通过theta/2 上/下：

P1 = C + R * (sin(u + theta/2), cos(u + theta/2))

和

P2 = C + R * (sin(u - theta/2), cos(u - theta/2))