减少二分搜索中的搜索空间

Question

我正在解决classical binary search problem：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        if(nums.empty()) return -1;

        int lo=0, hi=nums.size()-1;
        while(lo<hi) {
            int mid=lo+(hi-lo)/2;
            //if element found at position mid, return mid
            if(nums[mid]==target) return mid;
            if(nums[mid]<target) lo=mid+1;
            //why not hi=mid-1, since if mid _could_ have our answer, we would 
            //have already returned above
            else hi=mid;
        }
        
        // if element not found, return -1;
        return nums[lo]==target ? lo : -1;
    }
};

我正在寻找设置hi=mid 的直观解释（特别是while 循环条件为lo<hi 而不是lo<=hi）。我认为我们应该将其设置为hi=mid-1，因为我们知道mid 不能包含我们的答案（如果包含，那么我们已经返回）。是的，我可以在几个示例上进行尝试，但我试图直观地了解在开发逻辑（在开始编码之前）时搜索空间是如何减少的，​​以便我可以想出一个具体的适用于所有示例的算法。

Answer 1

我正在寻找设置 hi=mid 的直观解释（特别是将 while 循环条件设置为 lo<hi 而不是 lo<=hi）。我认为我们应该将其设置为hi=mid-1，因为我们知道mid 不能包含我们的答案（如果包含，那么我们已经返回）。

这里有两个主要的潜在问题：

1. 正确性。对于所有输入，函数是否终止并返回正确答案？

   • hi=mid，是的。为此，我们可以观察到当循环条件lo<hi 成立时，mid 总是严格小于hi 但不小于lo，因此设置mid=hi 会减少搜索间隔。我们还可以观察到，当执行该替代方案时，如果目标值存在的话，它必须在缩小的区间内。由于搜索空间是有限的，并且在每次迭代中都会减少，因此如果没有尽快找到目标，计算最终必须达到间隔大小 1（并因此终止）。

   • hi=mid-1，也可以。论点是相同的，但值得注意的是，mid == lo 可能是这种情况，这产生了hi 设置小于lo 的可能性。写函数的时候不存在实际问题，但是有点不整洁。

2. 效率。该函数能否以更少的步骤得出正确的结果？

   使用hi=mid-1 不会使函数渐近更快。无论哪种方式，它都是 O(log n)。此外，在任何给定的问题上，这两个备选方案将测试不同的值序列，因此当目标值存在时，任一备选方案可能会在比另一个备选方案更少的周期内完成。直觉表明，平均而言，将搜索间隔缩小一点将是一个轻微的胜利，尤其是在目标值不存在的情况下，但除了间隔已经非常小的周期外，这种增益在比例上是微不足道的。

我试图直观地了解在开发逻辑时（在开始编码之前）搜索空间是如何减少的，​​以便我可以提出一个适用于所有示例的具体算法。

任何一种替代方案都有效，没有理由期待明显的速度差异。那么，它归结为风格和个人敏感性。我自己，在这种情况下我更喜欢hi=mid，以避免产生hi < lo的情况。其他人可能更喜欢 hi=mid-1 对称性。

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旁注：另一方面，不能从 lo=mid+1 更改为 lo=mid。因为mid=lo+(hi-lo)/2 有可能导致mid==lo，所以需要lo=mid+1 替代方案来确保间隔在每个周期都缩小。