有间隙的二分搜索

Question

让我们想象两个这样的数组： [8,2,3,4,9,5,7]

[0,1,1,0,0,1,1]

我怎样才能只对下面有 1 的数字执行二进制搜索，而忽略其余部分？ 我知道这可以在 O(log n) 比较中进行，但我当前的方法较慢，因为它必须遍历所有 0 直到达到 1。

Answer 1

如果您点击下方带有 0 的数字，则需要在两个方向上扫描下方带有 1 的数字，直到找到它 - 否则本地搜索空间已用尽。由于对 1 的扫描是线性的，因此 0 与 1 的比率决定了生成的算法是否仍能比线性更快。

Answer 2

这个问题很老了，但我刚刚发现了一个绝妙的小技巧，可以在大多数情况下解决这个问题。我正在写这个答案，以便我可以在其他地方参考它：

排序数组中的快速追加、删除和二分查找

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需要从排序的集合中动态插入或删除项目，同时保留搜索能力，这通常迫使我们从使用二分搜索的简单数组表示切换到某种搜索树——一种更复杂的数据结构.

但是，如果您只需要在末尾插入（即始终插入最大或最小的项目），或者根本不需要插入，则可以使用更简单的数据结构。它包括：

1. 一个动态的（可调整大小的）项目数组，项目数组；和
2. 整数的动态数组，set 数组。集合数组用作disjoint set data structure，使用此处描述的单数组表示：How to properly implement disjoint set data structure for finding spanning forests in Python?

这两个数组的大小始终相同。只要没有删除，item数组就只包含排序好的item，而set数组中充满了与这些item对应的单例集。

但是，如果项目已被删除，则项目数组中的项目只有在集合数组中的相应位置存在根集合时才有效。所有合并到一个根的集合在集合数组中都是连续的。

此数据结构支持如下所需的操作：

追加 (O(1))

要追加一个新的最大项，只需将该项追加到项数组中，然后将一个新的单例集合追加到集合数组中。

删除（有效摊销 O(log N)）

要删除一个有效项，首先调用 search 找到相邻的较大的有效项。如果没有更大的有效项目，则只需截断两个数组以删除该项目和所有相邻的已删除项目。由于合并的集合在集合数组中是连续的，这将使两个数组保持一致的状态。

否则，合并集合数组中已删除项和相邻项的集合。如果已删除项的集合被选为新根，则将相邻项移动到项数组中已删除项的位置。从现在开始，任何未选择的位置都将不再使用，并且可以在必要时取消以释放引用。

如果删除后只有不到一半的项数组有效，则应从项数组中删除已删除的项，并将集合数组重置为全单态。

搜索（有效摊销 O(log N)）

二分查找正常进行，只是我们需要找到每个测试位置的代表项：

int find(item_array, set_array, itemToFind) {
    int pos = 0;
    int limit = item_array.length;
    while (pos < limit) {
        int testPos = pos + floor((limit-pos)/2);
        if (item_array[find_set(set_array, testPos)] < itemToFind) {
            pos = testPos + 1; //testPos is too low
        } else {
            limit = testPos; //testPos is not too low
        }
    }
    if (pos >= item_array.length) {
        return -1;  //not found
    }
    pos = find_set(set_array, pos);
    return (item_array[pos] == itemToFind) ? pos : -1;
}