给定一个轴的向量，我如何找到其他两个轴的向量？答案

【问题标题】：Given vector of one axis, how do I find vectors of other two axes?给定一个轴的向量，我如何找到其他两个轴的向量？
【发布时间】：2011-03-04 05:35:04
【问题描述】：

这是一道数学题，我不知道该怎么做。该向量未与轴对齐，因此仅围绕 x、y 或 z 旋转 90 度不一定会给我其他轴。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我能想到你可能会问的几个不同的场景。

给定：预先存在的坐标系

给定：任意基二维坐标系中的一个轴

如果您在任意基二维坐标系中有一个轴，则另一个轴是正交向量。

正交旋转矢量逆时针：

[x_new, y_new] = [ -y_old, x_old]

顺时针正交旋转矢量：

[x_new, y_new] = [ y_old, -x_old]

总结一下：

Given: x-axis = [ a,  b]
Then:  y-axis = [-b,  a]

Given: y-axis = [ c,  d]
Then:  x-axis = [ d, -c]

给定：任意基 3D 坐标系中的两个轴

为此，求叉积。

[a,b,c] x [d,e,f] = [ b*f - c*e, c*d - a*f, a*e - b*d ]

遵循这三个准则：

给定：任意基 3D 坐标系中的一个轴

没有足够的信息来找到这个问题的唯一解决方案。这是因为，如果您查看第二种情况（任意基二维坐标系中的一个轴），您首先需要找到一个正交向量。但是，在 3D 空间中，与单个轴的正交向量数量是无限的！

但是，您可以找到一种可能的解决方案。

通过查找任意向量[d,e,f] 来查找这些正交向量中的任意一个的一种方法是：

[a,b,c] = original axis
[d,e,f] = arbitrary orthogonal axis (cannot be [0,0,0])

a*d + b*e + c*f = 0

例如，如果你的原始轴是[2,3,4]，你会解决：

2 * d + 3 * e + 4 * f = 0

也就是说，满足此条件的[d,e,f] 的任何值都是令人满意的正交向量（只要它不是[0,0,0]）。例如，可以选择[3,-2,0]：

2 * 3 + 3 *-2 + 4 * 0 = 0
  6   +  -6   +   0   = 0

如您所见，一个适用的“公式”是[d,e,f] = [b,-a,0]...但还有许多其他的也适用；事实上，有无限！

找到两个轴 [a,b,c] 和 [d,e,f] 后，您可以将其还原为前一种情况（情况 3），使用 [a,b,c] 和 [d,e,f] 作为您的 x 和 y 轴（或您使用的任何轴）需要它们来解决您的具体问题）。

标准化

请注意，随着您不断地进行点积和叉积，您的向量将开始变得越来越大。根据您的需要，这可能是不希望的。例如，您可能希望基础向量（坐标轴）都具有相同的大小/长度。

将任意向量（[0,0,0]除外）转化为单位向量（长度为1的向量，方向与原向量相同）：

r  = [a,b,c]   
v  = Sqrt(a^2 + b^2 + c^2)   <-- this is the length of the original vector
r' = [ a/v , b/v , c/v ]

其中r' 表示r 的单位向量——长度为1 的向量指向与r 相同的方向。一个例子：

r  = [1,2,3]
v  = Sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = Sqrt(13) = 3.60555  <-- this is the length of the original vector
r' = [0.27735, 0.55470, 0.83205]

现在，如果我想要一个与 r 相同方向的向量，长度为 5，我只需乘以 r' * 5，即 [a' * 5, b' * 5, c' * 5]。

【讨论】：

如果他正在使用模拟或游戏软件，他可能会旋转对象，这样可以很容易地找到其他两个轴。
这个问题真的很模糊=/
总之，贾斯汀：首先你使用两个正交向量的点积为零的点积规则，得到第二个轴。然后使用这两个轴的叉积得到第三个轴。我明白这一切。我唯一的问题是你如何得到一个向量的任意正交轴 {4.418020, -6.474061, -6.210284}
您是如何选择 [3,-2,0] 作为正交轴的？
好的，所以我知道你是如何得到 [b, -a, 0] 的，但这并不总是适用于任何向量，不是吗？它特定于 [2, 3, 4]

【解决方案2】：

只有一个轴是不够的，因为在垂直平面上仍有无数个轴。

如果你设法得到另一个轴，你可以使用叉积来找到第三个。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果你有一个向量 (x,y,z) 你可以得到一个垂直向量作为 (y,-x,0) （点积是 xyyx+0* z = 0)

然后你取两者的叉积得到剩余的垂直向量： (x,y,z) × (y,-x,0) = (0y+zx, yz-0x, -x²-y²) = (zx, yz, -x²-y²)

【讨论】：

【解决方案4】：

您指的是典型的 3 坐标系统，例如 3D 引擎中使用的系统吗？

只有一个向量你找不到其他两个，唯一的信息就是它们所在的平面。但是如果它们与你唯一的一个向量垂直，它们也可以是任何角度有。

【讨论】：