python中矩阵求逆的问题：（A⁻ⁱA≠I）

Question

我遇到了一个有趣的 python 问题。我试图反转 3x3 矩阵 A

[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]

然后将其与初始值相乘：A⁻ⁱA。而不是单位矩阵（所有对角线元素都等于一个）我有这个：

[[ 12.   8.   8.]
 [-16.  -8.   0.]
 [  4.   0.   0.]]

仅在这种特定情况下才会出现问题。具有其他值的矩阵会给出正确的结果。代码如下：

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2,suppress=True)

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
A = A.reshape(3,3)

print(A)
print(np.linalg.det(A))
print(np.matmul(np.linalg.inv(A),A))

输出：

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

6.66133814775094e-16

[[ 12.   8.   8.]
 [-16.  -8.   0.]
 [  4.   0.   0.]] 

Answer 1

您的矩阵是不可逆的，请参见例如wolfram alpha，表示矩阵是奇异的。

您可能会误认为 Python 打印了一个非零值的行列式 (6.66133814775094e-16)，但是，该值非常接近 0，因此您应该这样对待它。计算机对浮点数执行的操作通常并不完全准确（例如，请参阅这个问题 Why are floating point numbers inaccurate?），这可能是行列式的值接近于零但并不完全准确的原因。

Answer 2

这个矩阵的行列式是0。因为

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2,suppress=True)

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
A = A.reshape(3,3)
# print determinant
print(np.linalg.det(A))

返回

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
0.0

你有一个没有可计算逆矩阵。

Answer 3

正如其他人所指出的，奇异矩阵是不可逆的，所以你从 A^-1 A 得到一个无意义的答案。

Numpy 包含一个方便的功能来检查condition number

np.linalg.cond(A)
# 5.0522794445385096e+16

正如维基百科所述，这是对Ax = b 中的输出值b 对A 中矩阵值的微小变化的敏感度的度量（有点像广义导数）。较大的值表示A 是“条件错误的”，并且可能导致值不稳定。这是实值矩阵固有的，但可能会因浮点运算而恶化。

cond 比查看np.linalg.det(A) 更有用，因为它对A 中的值的比例不敏感（而规范和行列式是）。举个例子，这是一个值很小的矩阵，但在可逆性方面确实没有问题：

A = 1e-10*np.random.random(size=(3,3))

np.linalg.det(A)
# 2.128774239739163e-31
# ^^ this looks really bad...

np.linalg.cond(A)
# 8.798791503909136
# nevermind, it's probably ok

A_ident = np.matmul(np.linalg.inv(A), A)
np.linalg.norm(A_ident - np.identity(3))
# 5.392490230798587e-16
# A^(-1)*A is very close to the identity matrix, not il-conditioned.