随机概率选择

Question

假设我有 10 个奖品要送给 100 个人。每个人都得到一个镜头，一次一个。因此，如果第一个人未能中奖，则概率会上升，99 分之 10，等等……而且所有 10 个奖品都必须取消。

最好的写法是这样写，如果最后还有奖品，那个人将有 1 比 1 的机会获得奖品...

我是这样想的：

int playersLeft = 100
int winners = 0

while (winners < 10)
    winners += (random.Next(playersLeft--)<(10-winners)) ? 1 : 0;

我想知道是否有更好或更直接的方法来做到这一点。我知道这看起来很简单，但这个简单的任务是应用程序一个非常重要的方面的一部分，它一定是正确的。

澄清：我为什么要做这样的事情：

实际上有无限数量的玩家，每个人都有 X 比 Y 的概率获胜，比如 10/100 = 10%。但是，如果我将其留给随机数生成器，则有可能在 100 名玩家中，只有 9 人会获胜，或者最坏的情况是 11 人。在我的应用程序中，我必须确保每 100 名玩家不会超过或不少于 10 人赢了。

Answer 1

每个人都应该有平等的获胜机会吗？在那种情况下，为什么不随机选择 10 个不同的数字 1-100，然后假装按顺序做呢？

var winners = new HashSet<int>();
while(winners.Count < 10)
{
  var number = random.Next(100);
  if(!winners.Contains(number)) winners.Add(number);
}

for(i = 0; i < 100; i++)
{
  if(winners.Contains(i)) Console.WriteLine("{0} won!!!", i);
  else Console.WriteLine("{0} didn't win, sorry...", i);
}

Answer 2

我对此进行了更多思考，并提出了以下建议。我们可以给第一个人一个公平的获胜机会，然后如果其余的奖励公平地分配给其他人（无论他是赢还是输），整个事情就会是公平的。当然，这远非正式证明，所以请随时纠正我。下面应该给出一个公平的系统：

int prizes = 10;
for(int i = 100; i >= 1; i++)
{
  var result = random.Next(people);
  if(result < prizes)
  {
     Console.WriteLine("{0} won", i);
     prizes--;
  }
}

编辑：证明这是有效的：

1. 第一人微乎其微地有 n/k 获胜的机会（n 是奖品数量，k 是人数。
2. 假设我们将剩余的奖品公平地分配给其他人。在这种情况下，他们将有概率 n/k，n-1 个奖品在他们之间分配，概率为 (kn)/k，n 个奖品。这加起来平均为 (n*(n-1))/k + (n*(kn))/k = n*(k-1)/k，这是他们的公平份额奖品。
3. 我们使用相同的方法在 k-1 人中分配 n-1 或 n 个奖品。 Q.E.D.

Answer 3

最公平的做法是生成一个从 1 到 (100! / (90! * 10!)) 的随机数（因为这是可能的获奖者组合的数量）并用它来颁发奖品。

但是，使用该数字的某个倍数会更容易，例如获奖者的排列数，即 (100! / 90!)。一种方法是填充一个包含 100 个整数的数组，但每次都从数组中删除获胜的整数（将其与最后一个未获胜的整数交换是实现此目的的最简单方法）。

您的算法实际上需要 100 的随机性！所以它的效率要低得多，尽管我相信它仍然是完全公平的。

Answer 4

这将使您在人数减少时强制获胜的概率变为 1.0。然而，正如@obrok 所指出的，一个人中奖的概率取决于他们在 100 人名单中的排名。

这实际上与用于“N 选择 K”子集选择的算法相同。 http://mcherm.com/permalinks/1/a-random-selection-algorithm

int prizes = 10;
int people = 100;

while ( prizes > 0 ) {
   double probOfWin = (double) prizes / people; 
   if ( random.NextDouble() <= probOfWin ) {
      prizes--;
   }
   people--;
}