DFA 中的最小状态数答案

【问题标题】：Minimum number of states in DFADFA 中的最小状态数
【发布时间】：2020-05-24 23:00:06
【问题描述】：

DFA 接受字符串（以 3 为底，即三进制形式）中的最小状态数等于 5 模 6？

我试过了，但做不到。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

几乎所有模数问题的最小状态数是模数的基础。一般策略是每个模数都有一个状态，因为模数之间的转换与之前的数字无关。例如，如果您处于状态r4（代表x = 4 (mod 6)），并且遇到1 作为下一个输入，那么您的新模数是4x6+1 = 25 = 1 (mod 6)，因此输入@987654326 上的r4 转换@ 是 r1。你会发现start状态和r0可以合并，一共6个状态。

【讨论】：

MDFA 将包含 3 个状态

【解决方案2】：

让我们看一下语言中的几个字符串：

 12 =              1*3 + 2 =  5 ~ 5 (mod 6)
102 =        1*9 + 0*3 + 2 = 11 ~ 5 (mod 6)
122 =        1*9 + 2*3 + 2 = 17 ~ 5 (mod 6)
212 =        2*9 + 1*3 + 2 = 23 ~ 5 (mod 6)

1002 = 1*18 + 0*9 + 0*9 + 2 = 29 ~ 5 (mod 6)

我们注意到所有字符串都以 2 结尾。这是有道理的，因为 6 是 3 的倍数，而从 3 的倍数中得到 5 的唯一方法是加 2。基于此，我们可以尝试解决字符串与 3 模 6 一致的问题：

并没有出现真正的模式，但考虑一下：每个以 0 结尾的基数为 3 的数字肯定可以被 3 整除。偶数也可以被 6 整除；所以以 3 为底的表示以 0 结尾的奇数必须与 3 mod 6 一致。因为 3 的所有幂都是奇数，所以如果字符串中 1 的个数是奇数，我们知道我们有一个奇数。

所以，我们的条件是：

字符串以 1 开头；
字符串有奇数个1；
字符串以 2 结尾；
字符串可以包含任意数量的 2 和 0。

要获得这样一个 DFA 中的最小状态数，我们可以使用以空字符串开头的 Myhill-Nerode 定理：

空字符串后面可以跟该语言中的任何字符串。调用它的等价类 [e]
字符串 0 后面不能跟任何内容，因为有效的 base-3 表示没有前导 0。调用它的等价类 [0]。
字符串 1 后面必须跟以 2 结尾的偶数个 1。调用它的等价类 [1]。
字符串 2 后面可以跟该语言中的任何内容。实际上，您可以验证将 2 放在语言中任何字符串的前面会给出该语言中的另一个字符串。但是，它也可以跟以 0 开头的字符串。因此，它的类是新的：[2]。
字符串 00 后面不能跟任何东西来修复它；它的类与其前缀 0, [0] 相同。字符串 01 也一样。
字符串 10 后面可以跟任何以 2 结尾的偶数个 1 的字符串；因此它等价于类 [1]。
字符串 11 后面可以跟任何语言中的任何字符串；实际上，您可以验证在语言中的任何字符串前面添加 11 会提供另一种解决方案。但也可以跟以0开头的字符串，因此其类与[2]相同。
12 后面可以跟以 2 结尾的偶数个 1 的字符串，也可以跟空字符串（因为 12 实际上在语言中）。这是一个新的类，[12]。
21 等价于 1；类 [1]
22 等价于 2； [2] 类
20 相当于 2； [2] 类
120 与 1 无法区分；它的类是 [1]。
121 与 [2] 无法区分。
122 与 [12] 无法区分。

我们在长度为 3 的新字符串上没有看到新的等价类；所以，我们知道我们已经看到了所有的等价类。它们是：

[e]：语言中的任何字符串都可以跟在这个后面
[0]: 后面没有字符串
[1]：以2结尾的偶数个1的字符串可以跟在这个后面
[2]：与 [e] 相同，但也是以 0 开头的字符串
[12]：与[1]相同，但也是空字符串

这意味着我们语言的最小 DFA 有五个状态。这是 DFA：

      [0]
       ^
       |
       0
       |
----->[e]--2-->[2]<-\
       |        ^   |
       |        |   |
       1   __1__/   /
       |  /        /
       | |         1
       V V         |
       [1]--2-->[12]
         ^       |
         |       |
         \___0___/

（图中未显示的转换是各自状态的自循环）。

注意：我希望这个 DFA 有 6 个状态，正如 Welbog 在另一个答案中指出的那样，所以我可能错过了一个等价类。但是，在检查了几个示例并考虑了它在做什么之后，DFA 似乎是正确的：您只能通过将 2 视为最后一个符号（绝对必要）来进入接受状态 [12]，并且您只能进入状态 [12]从状态 [1] 开始，您必须看到奇数个 1 才能到达 [1]……

【讨论】：

MDFA 将包含 3 个状态

【解决方案3】：

乍一看，它似乎有 6 个状态，但可以进一步最小化。
我们先来看状态转移表：

这里，状态 q₀, q₁, q₂,...., q₅ 分别对应于除以 6 时模数为 0,1,2,...,5 的状态。q₀ 是我们的初始状态，由于我们需要模数 5，因此我们的最终状态将是 q ₅

从上面的状态转换表中得出的一些观察结果：

状态 q₀、q₂ 和 q₄ 完全相同
状态 q₁、q₃ 和 q₅ 完全相同

在相同输入上转换到相同状态的状态可以合并为单个状态。

注意：最终状态和非最终状态永远不能合并。

因此，我们可以将 q₀, q₂, q₄ 合并在一起， q₁, q ₃ 一起使状态 q₅ 远离排序规则。
最终的 Minimal DFA 有 3 个状态，如下所示：

【讨论】：

这允许在数字的有效位值表示中通常不允许使用前导零。
该问题没有具体提及有关表示的任何内容。