设计 DFA

Question

我想在修正歧义后为以下语言设计一个 DFA。 我想了很多，尝试了很多，但没有得到正确的答案。

S->aA|aB|lambda
A->aA|aS
B->bB|aB|b

Answer 1

我建议首先通过将其视为常规语法来获得 NFA；然后，确定 NFA，然后我们可以写下一个新的文法，它与这个等价但明确（出于同样的原因，确定的自动机是确定性的）。为这个语法写下 NFA 很容易：X -> sY 形式的产生式转换为在输入 s 上从状态 X 到状态 Y 的转换。类似地，X -> lambda 形式的转换意味着 X 是一个接受状态，X -> b 形式的转换意味着一个新的接受状态转换到一个死状态。

我们需要每个非终结符 S、A 和 B 的状态；我们将为每一部作品提供过渡。我们的 NFA 如下所示：

       /---a----\
       |        |
       V        |
----->(S)--a-->(A)<--\
       |        |    |
       a        \--a-/   /--a,b--\
       |                 |       |
       V                 V       |
 /--->(B)--b-->(X)-a,b->(Y)<-----/
 |     |
 \-a,b-/

这里，状态(S) 和(X) 正在接受，状态(Y) 是死状态（我们实际上不需要明确地描述这一点，但请耐心等待），这个自动机完全等同于语法.现在，我们需要确定这一点。确定自动机的状态将对应于非确定版本的状态子集。我们的第一个确定性状态将对应于仅包含(S) 的集合，我们将使用过渡：

Q               s    Q'
{(S)}           a    {(A),(B)}
{(S)}           b    empty
{(A),(B)}       a    {(A),(B),(S)}
{(A),(B)}       b    {(B),(X)}
{(A),(B),(S)}   a    {(A),(B),(S)}
{(A),(B),(S)}   b    {(B),(X)}
{(B),(X)}       a    {(B),(Y)}
{(B),(X)}       b    {(B),(X),(Y)}
{(B),(Y)}       a    {(B),(Y)}
{(B),(Y)}       b    {(B),(X),(Y)}
{(B),(X),(Y)}   a    {(B),(Y)}
{(B),(X),(Y)}   b    {(B),(X),(Y)}

我们遇到了六个状态，外加一个死状态 (empty)，我们可以将其命名为 q1 到 q6，再加上 qD。与(S) 或(X) 的子集对应的所有状态都在接受，(S) 是初始状态。我们的 DFA 如下所示：

                  /-a,b-\
                  |     |
                  V     |
----->(q1)--b-->(qD)----/
       |
       a          /--a--\
       |          |     |
       V          V     |
      (q2)--a-->(q3)----/
       |         |
       b         |
       |         b
       V         |
  /--(q4)<------/     /--b--\
  |   |               |     |
  |   \------b------(q6)<---+
  a     /--a----\    |      |
  |     |       |    |      |
  \-->(q5)<-----+--a-/      |
        |                   |
        \---------b---------/

最后，我们可以从 DFA 中读出明确的正则语法：

(q1) -> a(q2) | b(qD) | lambda
(qD) -> a(qD) | b(qD)
(q2) -> a(q3) | b(q4)
(q3) -> a(q3) | b(q4) | lambda
(q4) -> a(q5) | b(q6) | lambda
(q5) -> a(q5) | b(q6)
(q6) -> a(q5) | b(q6) | lambda