将以下表达式转换为仅使用 NAND 门

Question

我有以下表达式（'表示NOT）...

e'(a+b)

首先我展开...

e'a + e'b

德摩根定律...

(e'a +e'b)'
((e'a)'(e'b)')'

现在我被困住了。我使用的每个 NAND 门最多只能接受 2 个输入。我可以使用任意数量的 NAND 门，但我应该尝试提出使用最少门的表达式。

我在正确的轨道上吗？我该如何继续？

Answer 1

首先，我建议服用：

e'(a+b)

并使用更详细的符号来编写它，以使转换更容易识别为已正确完成：

(not e) and (a or b)

正如 Rory Daulton 所建议的，第一步是了解如何使用 nand 呈现基本逻辑操作。

1. 正如 Rory 所指出的，不能证明 e 等同于 e nand e。
2. 您可以通过 nand 的定义证明 a 和 b 等价于 not (a nand b)。使用上述结果，我们仅使用与非门恢复等效表达式 (a nand b) nand (a nand b)。
3. 您可以证明 a 或 b 等价于 De Morgan 的 not((not a) 和 (not b))，因此根据 nand 的定义 (not a) nand (not b)。我们可以使用上述结果仅使用 nand 门推导出等价的表达式 (a nand a) nand (b nand b)。

回到我们的表达方式：

(not e) and (a or b)

我有点喜欢由外而内的工作，所以我们从最外面的操作开始，并且，使用上面 2 的规则得到：

(not e) and (a or b)
2=> ((not e) nand (a or b)) nand ((not e) nand (a or b))

现在我们在同一级别有四个子表达式，我们可以从左边开始，然后向右工作：

(not e) and (a or b)
2=> ((not e) nand (a or b)) nand ((not e) nand (a or b))
1=> ((e nand e) nand (a or b)) nand ((not e) nand (a or b))
3=> ((e nand e) nand ((a nand a) nand (b nand b))) nand ((not e) nand (a or b))
1=> ((e nand e) nand ((a nand a) nand (b nand b))) nand ((e nand e) nand (a or b))
3=> ((e nand e) nand ((a nand a) nand (b nand b))) nand ((e nand e) nand ((a nand a) nand (b nand b)))

这样的电路可能如下所示：

e--+---|\   e'
   |   > >o----------------------|\  (e'(a+b))'
   +---|/                        > >o--------+---|\
                             +---|/          |   > >o--e'(a+b)
a--+---|\   a'               |               +---|/
   |   > >o--------|\        |
   +---|/          > >o------+
               +---|/   a+b
b--+---|\      |
   |   > >o----+
   +---|/   b'

Answer 2

这看起来不像是正确的轨道。

您的原始表达式只有三个操作：NOT (e')、OR (a+b) 和 AND（在我给出的最后两个表达式之间）。您应该弄清楚如何执行这三个操作中的每一个，然后将它们组合成一个整体结构。在这类问题中，了解如何执行这些操作至关重要。

这里是第一个方法：NOT x 等价于x NAND x，因此e' 等价于e NAND e。从这里继续。