为什么在相机校准期间最小化重投影误差的平方？

Question

我正在使用 openCV 的 cameraCalibration 功能，效果很好。但是，我无法理解为什么它使用它的特定成本函数

sqrt( 1/n *  sum( d(xi', xi)**2 ,i , 1, n))

其中xi' 是重新投影（或模型）坐标，xi 是原始图像坐标（例如参见this Question）。直观地说，我会将成本函数写为

1/n sum( d(xi', xi) , i, 1, n)

换句话说，作为点的欧几里得距离的平均值。

我了解这些表达方式在数量上是不同的。我感兴趣的是两个成本函数的首选解决方案之间的定性差异是什么？为什么将前者用于相机校准？

Answer 1

将 n 次重投影和数据集解释为 2n 维空间中的向量，平方重投影误差（您的第一个公式）是向量之间差异长度平方的 1/n 倍。因为向量长度的平方随长度本身单调增长，所以优化平方与优化长度相同。因此，您要最小化的误差实际上是高维空间中向量的长度（也称为 L2 范数）。

因为向量的长度相对于坐标的变化是不变的，所以你找到的最优值也是不变的。对于其他成本函数而言，情况并非如此，这可能会导致根据问题的特定规范产生有偏差的结果。

请参阅Gauss-Markov Theorem，以更深入地讨论我们为何使用Least Squares 估计器进行相机校准（以及许多其他问题）。