有逆变单子吗？

Question

函子可以是协变的和逆变的。这种协变/逆变对偶也可以应用于单子吗？

类似：

class Monad m where
  return :: a -> m a
  (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b    

class ContraMonad m where
  return :: a -> m a
  contrabind :: m a -> (b -> m a) -> m b

ContraMonad 类有意义吗？有什么例子吗？

Answer 1

嗯，当然，可以定义它，但我怀疑它是否有任何用处。

有一种流行的说法是“monad 只是一类内函子中的一个幺半群”。它的意思是，首先，我们有一个内函子类别（意思是，从某个类别到自身的（协变）函子），而且，我们在这个内函子上有一些乘法（在这种情况下 - 组合）。然后 monad 适合一些我们现在不必担心的通用框架。关键是，逆变函子没有“乘法”。两个协变函子的组合又是一个协变函子；但是两个逆变函子的组合不是逆变函子（而是协变函子，所以，完全不同的野兽）。

因此，“逆变单子”实际上没有意义。

Answer 2

逆变函子是从一个类别到其opposite category 的函子，即从一个类别到另一个类别（尽管密切相关）。 OTOH，monad 主要是一个 endofunctor，即从一个类别到 itself。所以它不能是逆变的。

当您考虑 monad 的“基本数学”定义时，这类东西总是会变得更加清晰：

class Functor m => Monad m where
  pure :: a -> m a
  join :: m (m a) -> m a

正如您看到的那样，实际上并没有任何箭头可以在结果中翻转，就像您对contrabind 所做的那样。当然有

class Functor n => Comonad n where
  extract :: n a -> a
  duplicate :: n a -> n (n a)

但共单子仍然是协变函子。

与 monads 不同，applicatives (monoidal functors) 不需要是 endofunctors，所以我相信这些 可以 被扭转。让我们从“基本”定义开始：

class Functor f => Monoidal f where
  pureUnit :: () -> f ()
  fzipWith :: ((a,b)->c) -> (f a, f b)->f c  -- I avoid currying to make it clear what the arrows are.

（练习：根据this定义派生的Applicative实例，反之亦然）

转身

class Contravariant f => ContraApp f where
  pureDisunit :: f () -> ()
  fcontraunzip :: ((a,b)->c) -> f c->(f a, f b)
                            -- I'm not sure, maybe this should
                            -- be `f c -> Either (f a) (f b)` instead.

不知道这会有多大用处。 pureDisunit 肯定没用，因为它唯一的实现总是const ()。

让我们试着写一个明显的例子：

newtype Opp a b = Opp { getOpp :: b -> a }

instance Contravariant (Opp a) where
  contramap f (Opp g) = Opp $ g . f

instance ContraApp (Opp a) where
  pureDisunit = const ()
  fcontraunzip z (Opp g)
     = (Opp $ \a -> ???, Opp $ \b -> ???) -- `z` needs both `a` and `b`, can't get it!

我不认为这很有用，尽管您可以使用诸如巧妙的打结递归之类的东西来定义它。

可能更有趣的是一个逆变协单形函子，但这对我来说太奇怪了。