f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b <=> f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)？

Question

编辑：如果存在这样的函数f，我们将调用一个箭头ppure：p = arr f。

我正在尝试更好地掌握 Haskell 中的 Arrows，我想知道何时

f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)，其中f、g、h 是箭头。

显然，这通常不是真的。在此特定示例中，副作用在右侧重复：

GHCi> c = Kleisli $ \x -> ("AB", x + 1)
GHCi> fst . runKleisli (c >>> c &&& c) $ 1
"ABABAB"
GHCi> fst . runKleisli ((c >>> c) &&& (c >>> c)) $ 1
"ABABABAB"

显然，f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h) 如果f 是纯的。

我在 GHCi 中使用 f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b 的此语句进行试验，但没有找到 f、g 和 h 的值，即 f >>> (g &&& h) ≠ (f >>> g) &&& (f >>> h)。这个陈述对于f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b 是否确实如此，如果是这样，这是否可以作为一个有效的证明： Monad ((->) e) 的效果是从环境中读取。因此，f 的应用结果是 g 和 h 将从环境中读取的函数。无论这个函数是在哪里创建的——都是一样的，因为它每次都应用于同一个参数，因此从环境中读取的结果是一样的，因此总体结果也是一样的。

Answer 1

直观

是的，(->) e monad 是一个 reader monad，我们执行两次读取还是只执行一次都没有关系。运行f 一次或两次并不重要，因为它总是会产生相同的结果，具有相同的效果（读取）。

你的推理在我看来直觉上是正确的。

正式

f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b 本质上是指f, g, h :: a -> (e -> b)，去掉包装。

同样，忽略包装器，我们得到

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: b -> e -> c)
f >>> g = (\xa xe -> g (f xa xe) xe)

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: a -> e -> c)
f &&& g = (\xa xe -> (f xa xe, g xa xe))

因此：

f >>> (g &&& h)
= { def &&& }
f >>> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe))
= { def  >>> }
(\xa' xe' -> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe)) (f xa' xe') xe')
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))


(f >>> g) &&& (f >>> h)
= { def >>> }
(\xa xe -> g (f xa xe) xe) &&& (\xa xe -> h (f xa xe) xe)
= { def &&& }
(\xa' xe' -> ((\xa xe -> g (f xa xe) xe) xa' xe', (\xa xe -> h (f xa xe) xe) xa' xe'))
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))