IEEE 754：哪里可以看到“舍入结果在数学上精确结果的 0.5 ULP 范围内”的含义？

【问题标题】：IEEE 754: Where "the rounded result is within 0.5 ULP of the mathematically exact result" implication can be seen?IEEE 754：哪里可以看到“舍入结果在数学上精确结果的 0.5 ULP 范围内”的含义？
【发布时间】：2021-06-12 16:14:09
【问题描述】：

来自 ULP Wikipedia's page（已添加重点）：

所有现代浮点硬件都遵循的 IEEE 754 规范要求基本算术运算（自 1985 年以来的加法、减法、乘法、除法和平方根以及自 2008 年以来的 FMA）的结果正确舍入，这意味着在四舍五入到最接近的情况下，四舍五入的结果在数学上精确结果的 0.5 ULP 范围内，使用 John Harrison 的定义；

问题：从哪里可以看出上面强调的含义？

【问题讨论】：

在长度为 d 的线段 AB 上，该线段上任意点 P 与 A 或 B 中较近者的最远距离是多少？
正确，感谢您的提示。

标签： floating-point precision ieee-754 floating-accuracy

【解决方案1】：

...在四舍五入到最接近的情况下，使用 John Harrison 的定义，四舍五入的结果在数学上精确结果的 0.5 ULP 以内；

上面强调的含义究竟在哪里可以看到？

接近 2 的幂。（或任何基础）

考虑将 ULP 用作 quantum 与 John Harrison's definition。

在p 的 2 次幂及其最小编码的 FP 数字 u 的邻域中，可表示的浮点值是 [pu, pu/2, p, p+u, p+2u ] 用于 base 2 系统。

使用 quantum，这 5 个值的 ULP 为 [u/2, u/2, u, u, u]。

如果某个数学运算的确切答案正好是p，那么p“0.5 ULP 以内”包括[pu/2, p]，因此允许劣质p-u/2 作为可接受的答案。

对于 John Harrison，这 5 个值的 ULP 是 [u/2, u/2, u/2, u, u]。

值 p 作为 2 的幂的 ULP是量子的一半，因此只有 p 是可接受的答案。

参考：Unit in the Last Place - ULP

【讨论】：