IEEE 754 浮点除法的可逆性答案

【问题标题】：Invertability of IEEE 754 floating-point divisionIEEE 754 浮点除法的可逆性
【发布时间】：2016-12-07 03:29:18
【问题描述】：

什么是 IEEE 754 浮点除法的可逆性？我的意思是，如果double y = 1.0 / x，那么x == 1.0 / y，即x，是否可以通过标准来保证可以精确地一点一点恢复？

y 为 infinity 或 NaN 的情况明显例外。

【问题讨论】：

在一些明显的情况下它不能，例如无穷大和不定，也可能是非规范化的数字。但对于其他人来说，这是一个很好的问题。
看起来这对于零和无穷大都可以正常工作......
通过简单的反例可以表明，IEEE-754 兼容的浮点倒数不能以这种方式恢复。例如，使用舍入模式到最近或偶数，binary32:x=0x1.fffffep-1: 1.0f/x=0x1.000002p+0 1.0f/(1.0f/x)=0x1.fffffcp-1 和binary64:x=0x1.fffffffffffffp-1: 1.0f/x=0x1.0000000000001p+0 1.0f/(1.0f/x)=0x1.ffffffffffffep-1
接受穷人的反例吗？对于x = 100000，任何现代 CPU 都无法做到这一点，我很确定它们是 IEEE754 投诉...
保证操作以无限精度进行，然后将结果强制转换为目标值。如果您开始在粗略步骤中引入舍入误差，则再次执行操作（即使以无限精度）不会导致原始结果。此外，现在您有许多输入在您反转时变得相同，并且当您再次反转时所有输入都应该导致不同的输出，这会推翻您的论点。

标签： c++ floating-point precision floating-accuracy ieee-754

【解决方案1】：

是的，有 IEEE 754 双精度 (*) 值 x 就是这样的 x != 1.0 / (1.0 / x)。

使用此属性手动构建一个正常值的示例很容易：C99's hexadecimal notation for floating-point values 中的0x1.fffffffffffffp0 是这样的1.0 / (1.0 / 0x1.fffffffffffffp0) == 0x1.ffffffffffffep0。很自然地期望0x1.fffffffffffffp0 成为一个反例，因为1.0 / 0x1.fffffffffffffp0 位于binade 的开头，其中浮点数的密度较小，因此在最里面的除法上必须发生较大的相对误差。更准确地说，1.0 / 0x1.fffffffffffffp0 恰好位于0.5 与其双精度后继值之间的中点之上，因此1.0 / 0x1.fffffffffffffp0 向上舍入到后继值 0.5，具有较大的相对误差。

在十进制 %.16e 格式中，0x1.fffffffffffffp0 是 1.9999999999999998e+00，0x1.ffffffffffffep0 是 1.9999999999999996e+00。

(*) 对于任何 IEEE 754 格式，反函数没有理由具有问题中的属性

【讨论】：

一个有趣且容易证明的事实是（假设避免了上溢和下溢，IEEE 754 二进制格式，舍入到偶数等），任何浮点 x 其分数在[1.0, sqrt(2)] 范围内将具有1.0 / (1.0 / x) == x 的属性。

【解决方案2】：

显然不是。 1/10 没有代表。你得到一个近似值。反转不会给你 10。

编辑：其中有很多。任何需要超过 53 位的逆都将是其中之一。

有一个简单的测试。在 C 语言中，您可以针对 10.0 测试 1.0/(1.0/10.0)，您会发现它们并不相等。

【讨论】：

什么不是真的？不能表示 0.1 或者反转不是 0.1 的值不会产生 10？设备如何知道 (1/10)-eps 应该是 1/10 而不是近似值？
那么反转 1/10 会带来什么？
反转 0.1（不能用二进制表示。见grouper.ieee.org/groups/754/faq.html#binary-decimal）。它应该等于 1/(0.1+e) 其中 e 是表示错误输入它不是由于后处理造成的。所以我概述的测试工作/不工作取决于实施和取决于有时正确/有时错误的情况。（另见：exploringbinary.com/…）
对不起，有缺陷的假设。 1/X 可能是近似的，但 (1/X) * X 也是如此。现在的问题是，这些近似值是否总是取消。一个反例就足够了。正如plasmacel 所示，1/10 并不是反例。