可以存储在双精度中的最大整数，这样所有小于的整数也可以准确存储答案

【问题标题】：largest integer that can be stored in a double such that all integers less than can be accurately stored as well可以存储在双精度中的最大整数，这样所有小于的整数也可以准确存储
【发布时间】：2016-01-06 14:22:23
【问题描述】：

这是对前段时间已经回答的问题的更多澄清：biggest integer that can be stored in a double

最佳答案提到“最大的整数，它和所有较小的整数可以存储在 IEEE 64 位双精度数中而不会丢失精度。IEEE 64 位双精度数有 52 位尾数，所以我认为它是 2^ 53：

因为：

2⁵³ + 1 无法存储，因为开头的 1 和结尾的 1 之间的零太多。
可以存储任何小于 2⁵³ 的值，其中 52 位显式存储在尾数中，然后有效的指数为您提供另一个。
2⁵³ 显然可以存储，因为它是 2 的小幂。

有人可以澄清第一点吗？他这是什么意思？他是否在谈论例如，如果它是一个 4 位数字 1000 + 0001，您不能将其存储为 4 位吗？ 2⁵³ 只是第一位 1 其余的 0 对吗？为什么你不能在不损失精度的情况下加 1？

另外，“最大整数，使得它和所有较小的整数都可以存储在 IEEE 中”。是否有一些一般规则，如果我想找到最大的 n 位整数，以便它和所有较小的整数可以存储在 IEEE 中，我可以简单地说它是 2ⁿ 吗？例如，如果我要找到最大的 4 位整数，这样它和它下面的所有整数都可以表示，它会是 2^4？

【问题讨论】：

标签： binary floating-point double precision ieee-754

【解决方案1】：

他是在说，例如，如果它是一个 4 位数字 1000 + 0001，你不能将它存储在 4 位中吗？

不，他是说您不能将其存储在 3 位中。使用通常的二进制表示法。

2⁵³ 只是第一位 1，其余位 0 对吗？

是的，1, 2, 4, ..., 2⁵³, 2⁵⁴, 2⁵⁵, ..., 2123、2¹²⁴、……还有 0.125。

这是我们正在谈论的浮点数。 2⁵³ 只是一个隐含的 1，所有显式有效位均为 0，是的，但它不是唯一具有此属性的数字。关键属性是表示 2⁵³ 的 ULP 是 2。所以 2⁵³ 可以表示为范围内 2 的所有幂，而 2⁵³+1 不能，因为 ULP 在该邻域中太大。

另外，“最大整数，使得它和所有较小的整数都可以存储在 IEEE 中”。是否有一些一般规则，如果我想找到最大的 n 位整数，以便它和所有较小的整数可以存储在 IEEE 中，我可以简单地说它是 2ⁿ？

是的，在二进制 IEEE 754 浮点中，所有“可以存储它和所有较小整数的最大整数”都是 2 的幂，特别是 2ⁿ 其中 n 是有效数字的宽度（计算隐含位）。

【讨论】：