线性规划中的最大值最小值

Question

我需要解决

\max_x \min_y x^T M y

其中M \in \mathbb{R}^{m\times n}、x \in \mathbb{R}^m 和y \in \mathbb{R}^n。

约束是

 \sum_{i=1}^n y_i = 1
 \sum_{j=1}^m x_j = 1

我知道，解决这个问题的方法是利用对偶定理。

我的问题是：\min_y x^T M y 所说的原因是什么，为什么这里需要二元性？

一个。是不是因为\min_y x^T M y 不是线性的？我不明白为什么会这样。 湾。是不是因为 \min_y x^T M y 无法使用 lin prog 解决？ C。是不是因为别的原因？

Answer 1

对于你的变量x的固定值，那么问题P(x)：

\min_y x^T M y 受制于：\sum y_i = 1

确实是一个线性问题（仅在变量y中），因此可以通过经典的线性规划方法解决。

问题在于这个问题的解函数，也就是将x与问题P(x)的值相关联的函数（我记为f）不是线性的；可以看到你想要解决的原始（min-max）问题等价于：

\max_x f(x) 受制于：\sum x_i = 1，

因此不是线性问题。