解析曲线拟合：一条高斯曲线拟合双峰模型

Question

问题：

我有一个完全无噪声模型 ytot，它是两条完美高斯曲线的总和：

> y0 = A0 * exp( (x-mu0)^2/(2*std0^2) ) 
> y1 = A1 * exp( (x-mu1)^2/(2*std1^2) ) 
> y = y0 + y1

我现在需要通过最小平方曲线将它们拟合为 SINGLE 高斯曲线。

问题：

据我所知，真正的 ytot（完全无噪声）：在这种情况下，是否有任何分析解决方案可以代表最小平方优化器的作用？例如。在这种情况下解析求解雅可比或梯度？

更多信息：

可以进行最小平方曲线拟合，例如在 Python 中使用 scipy.optimize 的 curve_fit 或最小化函数。但是，我必须为不同的参数执行数百万次拟合，这成为我代码的瓶颈。

注意：我可以不在这里使用统计观点（例如 mu=p*mu0+(1-p)*mu1 等）。如果 mu0~mu1 和 std0~std1，这两种方法会导致非常相似的解决方案，但随着双模性的增加而系统地不同。

Answer 1

经过两天的思考和线性代数，找到了解决方案。我希望这对以后的其他人有用。

可以将抛物线拟合到 log(y)，而不是将高斯拟合到 y。抛物线最小二乘问题可以通过线性代数轻松解决，参见例如在这个google doc 和这个video。

这很容易出现异常值，因此必须使用weighted least square model。我使用了权重 = y^2。

当然，在弄清楚之后，我发现这个非常清晰的paper 概述了完全相同的方法。详细解决方法请看论文。