在Matlab中实现积分方程的迭代求解

Question

我们有一个类似于第二类Fredholm integral equation 的方程。

为了求解这个方程，我们得到了一个迭代解，它保证收敛于我们的特定方程。现在我们唯一的问题在于在 MATLAB 中实现这个迭代过程。

目前，我们代码的问题部分如下所示：

function delta = delta(x,a,P,H,E,c,c0,w)

delt = @(x)delta_a(x,a,P,H,E,c0,w);

for i=1:500
    delt = @(x)delt(x) - 1/E.*integral(@(xi)((c(1)-c(2)*delt(xi))*ms(xi,x,a,P,H,w)),0,a-0.001);  
end
delta=delt;

end

delta_a是x的函数，表示迭代的初始值。 ms 是 x 和 xi 的函数。

如您所见，我们希望delt 在迭代中同时依赖于x（积分之前）和xi（积分内部）。不幸的是，这种编写代码的方式（使用函数句柄）并没有像我们希望的那样给我们一个数值。我们不能将delt 写成两个不同的函数，一个是x，一个是xi，因为xi 没有定义（直到integral 定义它）。那么，我们如何确保delt 在积分内部依赖于xi，并且仍然可以从迭代中得到一个数值呢？

你们对我们如何解决这个问题有什么建议吗？

使用数值积分

输入参数说明：x为数值向量，其余均为常数。我的代码的一个问题是输入参数 x 没有被使用（我猜这意味着 x 被视为一个符号）。

Answer 1

看起来你可以在 MATLAB 中嵌套匿名函数：

f = 

    @(x)2*x

>> ff = @(x) f(f(x))

ff = 

    @(x)f(f(x))

>> ff(2)

ans =

     8

>> f = ff;


>> f(2)

ans =

     8

还可以重新绑定指向函数的指针。

因此，您可以像这样设置迭代

delta_old = @(x) delta_a(x)
for i=1:500
    delta_new = @(x) delta_old(x) - integral(@(xi),delta_old(xi))
    delta_old = delta_new
end

加上你的参数...

Answer 2

您可能需要考虑解决问题的离散化版本。

让K 成为离散您的 Fredholm 内核 k(t,s) 的矩阵，例如

   K(i,j) = int_a^b K(x_i, s) l_j(s) ds

其中l_j(s) 是例如与插值节点(x_i) = x_1,x_2,...,x_n 关联的第j 个lagrange interpolant。

那么，解决您的 Picard 迭代问题就这么简单

  phi_n+1 = f + K*phi_n

即

  for i = 1:N   
       phi = f + K*phi
  end

其中phi_n 和f 是(x_i) 上phi 和f 的节点值。