顶点子集

Question

我有一个作业问题，我不知道如何解决它。如果您能给我一个想法，我将非常感激。

这就是问题所在： “给你一个连通的无向图，它有 N 个顶点和 N 个边。每个顶点都有一个成本。你必须找到一个顶点子集，以便子集中顶点的总成本最小，并且每条边都与子集中的至少一个顶点。”

提前谢谢你！

P.S：我长期以来一直在寻找解决方案，我提出的唯一想法是回溯或二分图中的最小成本匹配，但是对于 N=100000，这两个想法都太慢了。

Answer 1

这可以使用动态规划在线性时间内解决。

具有 N 个顶点和 N 条边的连通图恰好包含一个环。从检测这个循环开始（借助深度优先搜索）。

然后删除此循环中的任何边缘。与这条边相关的两个顶点是 u 和 v。在这个边缘去除之后，我们有一棵树。将其解释为具有根 u 的根树。

这棵树的动态编程循环可以这样定义：

• w₀[k] = 0（对于叶节点）
• w₁[k] = vertex_cost（对于叶节点）
• w₀[k] = w₁[k+1]（对于有一个后代的节点）李>
• w₁[k] = vertex_cost + min(w₀[k+1], w ₁[k+1])（对于有一个后代的节点）
• w₀[k] = sum(w₁[k+1], x₁[k+1], ...)（用于分支节点）
• w₁[k] = vertex_cost + sum(min(w₀[k+1], w₁[k+1]), min(x₀[k+1], x1[k+1]), ...)

这里k是节点深度（到根的距离），w₀是从节点w开始的子树的成本> 当 w 不在“子集”中时，w₁ 是从节点 w 开始的子树的成本strong> 当 w 在“子集”中时。

对于每个节点，只需计算两个值：w₀ 和 w₁。但是对于循环中的节点，我们需要 4 个值：w_i,j，如果节点 v 不在“子集”，如果节点v在“子集”内，则i=1，如果当前节点不在“子集”内，则j=0，如果当前节点在“子集”内，则j=1 .

“子集”的最优成本确定为 min(u_0,1, u_1,0强>、u_1,1）。要获取“子集”本身，请将反向指针与每个子树成本一起存储，并使用它们来重建子集。

Answer 2

由于边数对顶点数是严格的，所以不是常见的Vertex cover problem，它是NP-Complete。我认为这里有一个多项式解决方案：

1. N 顶点和 (N-1) 边图是一棵树。您的图有 N 个顶点和 N 个边。首先找到导致循环的可怕边缘并将图制作成树。您可以使用 DFS 来查找循环 (O(N))。删除循环中的任何一条边都会生成一棵可能的树。在极端情况下，您会得到 N 棵可能的树（原始图是一个圆圈）。

2. 对每棵可能的树 (O(N^2)) 应用简单的动态规划算法 (O(N))，然后找到成本最低的那棵。