数据结构中的幂运算和 C 中的算法分析

Question

在第 2 章中提到求幂时，作者提到

"所需的乘法次数显然最多为 2 log n（底数为 2），因为在 最多需要两次乘法（如果 n 是奇数）才能将问题减半。再次，可以写出递推公式并求解。”

代码如下：

int pow( int x, unsigned int n)
{
/*1*/ if( n == 0 )
/*2*/ return 1;
/*1*/ if( n == 1 )
/*4*/ return x;
/*5*/ if( even( n ) )
/*6*/ return( pow( x*x, n/2 ) );
else
/*7*/ return( pow( x*x, n/2 ) * x );
}

问： 正如作者所说，

2^16 最多需要 8 次乘法

2^15 ... 7 ...

2^14 ... 7 ...

2^13 ... 7 ...

2^12 ... 7 ...

其实我是按照代码执行的：

2^16 .... 4 ...

2^15 .... 6 ...

2^14 ... 5 ...

2^13 ... 5 ...

2^12 ... 4 ...

那么，是不是哪里出错了？

Answer 1

没有矛盾或错误——这本书给出了一个上限，而你正在查看乘法的确切数量。

乘法的确切数量（对于 n>0）是 floor(log_2(n)) + bitcount(n) - 1。这只是通过检查代码 - 偶数情况（执行一次乘法）对应于 0输入中的位，奇数情况（执行额外的乘法）对应于输入中的 1 位，代码在到达最高位时停止。

书上说 2*log_2(n) 是乘法次数的上限。这与确切的公式一致：floor(log_2(n))

从精确的公式可以看出，n的bitcount越低，上限越差。最坏的情况是 n 是 2 的幂：那么将执行 log_2(n) 乘法，并且上限偏离 2 倍。最好的情况是 n 小于 1 的幂2：那么上限将仅偏离 1。这与您的经验结果表相匹配。

Answer 2

求 x^n 最多需要 2 log n 次乘法，因为可能有 n/2 在每次迭代中都是奇数。例如：

pow(2, 15) --> pow(2 * 2, 7) * 2
           --> pow(4 * 4, 3) * 4 * 2
           --> pow(16 * 16, 1) * 16 * 4 * 2

这是六次乘法（每个函数调用两次乘法）； 2 * log(15) ~= 7.8。所以满足上限。最好的情况是 n 2 的幂，它只需要 log n 次乘法。

为了计算复杂度，考虑这个算法将n减少了一半k次，直到n在1到2之间；也就是说，我们有：

1 ≤ ⁿ⁄_2^k

所以：

2^k ≤ n k+1
⇒ k ≤ log n ⇒ (log n) - 1

因此，该算法需要 log n 步，由于最坏的情况是每步两次乘法，因此最多需要 2 log n 次乘法。