为什么使用 for 循环的斐波那契时间复杂度是 O(n^2) 而不是 O(n)？答案

【问题标题】：Why Time complexity of Fibonacci using for loop is O(n^2) and not O(n)?为什么使用 for 循环的斐波那契时间复杂度是 O(n^2) 而不是 O(n)？
【发布时间】：2018-12-13 14:25:36
【问题描述】：

为什么时间复杂度计算为 O(n^2) 而不是以下算法的 O(n)。

FibList(n)
    array[0-n] Create Array            O(n)
    F[0] <- 0                          O(1)
    F[1] <- 1                          O(1)

    for i from 2 to n                  O(n)
        F[i] <- F[i-1] + F[i-2]        O(n) 

    return F[n]                        O(1)

O(n) + O(1) + O(1) + O(n) O(n) + O(1) = O(n^2)

【问题讨论】：

F[i] <- F[i-1] + F[i-2] 是O(1)
现在创建一个大小为 n 的数组也是 O(1)。
@Adam 这是一个假设。使用不同的假设，即 F[i-1] + F[i-2] 成本 O(log_2(max(F[i-1], F[i-2]))) （即成本取决于位数），你得到O（n ^ 2）。看我的回答。

标签： algorithm time-complexity fibonacci

【解决方案1】：

如果您假设将具有k1 位的整数与具有k2 位的整数相加的成本与max(k1, k2) 成正比（这就是所谓的“位”成本模型，或“对数”成本模型），那么您生成的代码的时间复杂度为 O(n^2)。

这是因为 F(i) （几乎）与 phi^i 成正比，其中 phi 是黄金比例。这意味着 F(i) 有 ~i 位。

所以成本：

for i from 2 to n
    F[i] <- F[i-1] + F[i-2]

与 (1 + 2 + 3 + ... n-1) 成正比，即 n(n-1)/2，因此为 O(n^2)。

如果假设任意大小的整数相加是 O(1)，那么代码就是 O(n)。

有关成本模型的背景，请参阅维基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Analysis_of_algorithms#Cost_models 上的此部分

这里必须小心；例如，一些分析计算将两个数字相加作为一个步骤。这个假设可能不在某些情况下得到保证。例如，如果涉及的数字一次计算可以任意大，单次所需的时间不能再假定加法是恒定的。

顺便说一句，您的问题中使用的方法，即写出每行的最大复杂度，然后乘以嵌套的复杂度，并不是计算紧密绑定复杂度的有效方法，尽管它适用于所有复杂度都是多项式的情况，在这种情况下，它们是。

【讨论】：

循环迭代次数和位数不相关。所以你永远不会得到n^2。也许 m*n。无论如何，找到最大值是 O(1)，因为 int 位数很可能是 4 个字节。
@TonyTannous F[i] 有 ~i 位，i 是循环计数器，所以在这种情况下它们是相关的。
可能 i 位超出 sizeof(int) 位正在使用。我不知道任何会花费 i 位而不是 sizeof(int) 的操作。
@TonyTannous 添加两个 bignums 怎么样？
如果我错了，请纠正我，添加任何两个数字都会花费 sizeof(type)。