时间复杂度是 O(n) 而不是 O(n^2)？答案

【问题标题】：How is the time complexity O(n) and not O(n^2)?时间复杂度是 O(n) 而不是 O(n^2)？
【发布时间】：2018-03-11 01:26:20
【问题描述】：

我正在解决LeetCode.com上的一个问题：

给定一个正整数向量nums，计算并打印子数组中所有元素的乘积小于 k 的（连续）子数组的数量。

代码（我在大量在线帮助下编写的）如下：

class Solution {
public:
    int numSubarrayProductLessThanK(vector<int>& nums, int k) {
        if(nums.empty() || k<=1) return 0;

        int counter=0, left=0, currProd=1;
        for(int i=0; i<nums.size(); i++) {
            currProd*=nums[i];
            while(left<nums.size() && currProd>=k)
                currProd/=nums[left++];
            counter+=i-left+1;
        }

        return counter;
    }
};

虽然我了解发生了什么，但我不明白时间复杂度是如何被称为O(n) 而不是O(n^2)。恕我直言，i 和 left 都会增加，导致在最坏的情况下访问 nums 的每个元素两次 - 一次是通过归纳变量 i，然后是 left。

那么，O(n) 的时间复杂度如何？

【问题讨论】：

如果你在一个循环中有一个循环，你通常会遇到 O(n^2) 的情况。
@tadman，然而，据说时间复杂度是 O(n)。
理论上这可能是正确的，但我认为您的代码不符合该标准。您可能需要另一种方法。对于 O(n)，您需要使用单循环执行一次通过方法。
我认为要真正做到O(n)，您需要摆脱内部while，所以这是一个简单的线性扫描。您可能需要使用一些巧妙的技巧来消除这种情况。
我认为如果它符合 O(n) 条件，那是因为 left 在循环内永远不会重置为零，因此“内循环”永远不会迭代超过 mums.size() 次不管外循环迭代多少次。

标签： c++ algorithm time-complexity

【解决方案1】：

虽然代码可能看起来很像O(N^2)，但需要注意的关键是：

在 for 循环中，left 永远不会重置为 0，并且始终在 while 循环中递增。

这意味着while循环在代码整个执行期间最多只能执行N次。因此代码只在数组中运行了两次，因此O(N)。

【讨论】：

是的，我明白了。但我的疑问是：i 访问所有元素一次； left（尽管它没有被重置）访问所有元素（对于给定值i）。那么，怎么还是O(n)？
left 在整个运行过程中只访问每个元素一次，而不是在每次 for 循环执行期间。

【解决方案2】：

每次执行内部循环的主体时，left 都会增加 1。left 最初为 0，并且永远不会超过 nums.size()。因此内部循环的主体最多执行nums.size() 次。

外层循环的主体被精确地执行了nums.size() 次。

因此函数的执行时间最多为T0 + nums.size() * T1 + nums.size() * T2 其中T0是在外循环之外执行代码所花费的时间，T1是在不包括内循环的情况下执行一次外循环迭代所花费的时间循环，T2 是执行一次内循环迭代所需的时间。这个上限是A + nums.size() * B 的形式，其中 A 和 B 是一些常数。因此函数的执行时间为O(nums.size())。

当你有两个嵌套循环时，整个程序的复杂度最多 M*N 其中M 是外层循环的迭代次数，N 是最大内部循环的迭代次数。因此程序的复杂度满足O(M*N)。有时可能会找到下限，因为内部循环的迭代次数会有所不同。这里有一个不变量保证内部循环最多执行一定次数total，它给出了比O(nums.size() * nums.size())更好的界限。

【讨论】：

感谢您的回答。这很有帮助。