【发布时间】：2015-07-04 11:40:37
【问题描述】：
我知道执行此操作的蛮力方法是对图的所有顶点执行 DFS。因此，对于该算法，复杂度为 O(V|V+E|)。但是有没有更有效的方法来做到这一点？
【问题讨论】：
标签： algorithm complexity-theory theory graph-theory
【发布时间】：2015-07-04 11:40:37
【问题描述】：
我从http://research.microsoft.com/pubs/144985/todsfinal.pdf 之类的论文中得到的印象是，在一般情况下，没有比O(VE) 或O(V^3) 更好的算法。对于稀疏图和其他特殊图，有更快的算法。但是，如果您对将对数据进行的查询数量有所了解，您似乎仍然可以通过将“索引构造”与“查询”分开来进行改进。如果要进行大量查询，则O(1) 可以用于查询，前提是所有数据都已预先计算（DFS 或 Floyd-Warshall 等）并存储在O(n^2) 空间中。另一方面，如果查询相对较少，则可以以牺牲查询时间为代价来减少空间和/或索引构建时间。
【讨论】：
[编辑：正如 kraskevich 所指出的，最终的查询步骤可能比我最初声称的更糟糕：即使对于大小为 O(|V|) 的输出，也高达 O(|V|^2) ，比没有任何预处理的普通DFS好不了多少。].
在最坏的情况下，需要 O(|V|^2) 空间来显式存储所有这些信息——即，存储每个顶点的可到达顶点的完整列表（想象一个图，其中每个顶点对每个其他顶点都有一条边）。但是可以用只需要 O(|V|) 空间的方式来表示它，并且这种表示可以在 O(|V|+|E|) 时间内构建， 并且对它的查询将只需要与答案大小（可达顶点数）成比例的时间。
基本思想是：一个strongly connected component（SCC）中的每个顶点都可以到达同一个SCC中的每个其他顶点（这是SCC的定义），并且可以到达它所能到达的SCC中的所有顶点，并且没有其他顶点。
- 查找所有 SCC；这可以在 O(|V|+|E|) 时间内完成。建立一个表SCC，使得如果u的SCC为i，则SCC(u) = i（G和SCC中的顶点都可以用整数表示）。然后再通过这个表构建一个对偶表 Verts，这样 Verts(i) 就包含了第 i 个 SCC 中所有顶点的列表。
- 构建一个新图 G'，其顶点是 G 的 SCC。G' 必然是无环的。
所以，给定 G 中的一个顶点 u，查找它的 SCC，SCC(u)。称之为我。从顶点 i 开始通过 G' 执行 DFS：对于在此 DFS 期间遇到的每个 (G') j 顶点，输出 Verts(j) 中的每个 (G) 顶点。
【讨论】：
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实际上，看起来最坏情况下的时间与答案的大小不成正比。想象一个有三层的图。从第三层到第二层以及从第二层到第一层都有所有可能的边。它是一个 DAG，所以找到 SCC 并不会改变它。但是，从第三层的任何顶点运行 DFS 需要检查所有边（
O(n^2)），但最多有O(n)可达顶点。所以从第三层的所有顶点运行 DFS 会产生O(n^3)时间，这并不比一个幼稚的解决方案好。 -
@kraskevich：你说的完全正确。我找不到解决办法...你可以吗？是否有某种方法可以有效地查询顶点的下一个子节点，从而避免已经看到的顶点？
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@kraskevich：我现在意识到，如此高效的查询意味着 DFS 可以在少于 O(|V|+|E|) 的时间内完成！
我真的怀疑没有已知的更好的通用图算法。我在主题 [1] [2] 上找到的所有论文都描述了在 O(|V| * |E|) 时间内运行的算法。这并不比你在最坏情况下的幼稚尝试更好。
即使是维基百科页面 [3] 也说最快的算法将问题简化为矩阵乘法，最快的算法只比你的基线稍微好一点。
[1]http://ion.uwinnipeg.ca/~ychen2/conferencePapers/tranRelationCopy.pdf
[2]http://www.vldb.org/conf/1988/P382.PDF
[3]http://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_closure#Algorithms
【讨论】：
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能否请您解释一下如何将快速乘法应用于此问题
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@teja 不知道有没有更快的算法，但是可以使用邻接矩阵M，执行M^|V|。使用最快的矩阵乘法算法（和平方求幂），这是 O(|V|^2.37 log |V|)