计算辅因子矩阵的快速算法

Question

我想知道是否有一种快速算法，例如 (O(n^3)) 用于计算 N*N 方阵的辅因子矩阵（或共轭矩阵）。是的，可以首先分别计算其行列式和逆，然后将它们相乘。但是这个方阵是不可逆的呢？

我很好奇这里接受的答案：Speed up python code for computing matrix cofactors

“这可能意味着对于不可逆矩阵，也有一些巧妙的方法来计算辅因子（即，不使用上面使用的数学公式，而是使用其他等效定义）”是什么意思。 ?

Answer 1

分解 M = L x D x U，其中
L 是下三角形，主对角线上有一个，
U 是主对角线上的上三角形，
D是对角线。

您可以像使用 Cholesky 分解一样使用反向替换，这很相似。那么，

M^{ -1 } = U^{ -1 } x D^{ -1 } x L^{ -1 }

然后将辅因子矩阵转置为：

Cof( M )^T = Det( U ) x Det( D ) x Det( L ) x M^{ -1 }.

如果M 是单数或几乎是单数，则D 的一个（或多个）元素将为零或接近零。将矩阵乘积中的元素替换为 0，行列式中的元素替换为 1，并将上述等式用于转置辅因子矩阵。