使用欧几里得算法理解不变量答案

【问题标题】：Understanding invariants using Euclid's algorithimn使用欧几里得算法理解不变量
【发布时间】：2014-12-15 00:55:56
【问题描述】：

我在试图理解“不变”和“变体”这个词以及它与 c 编程的关系时遇到了问题。它在我的教科书中被大量使用，我的教授也经常提到它，但即使在阅读了其他关于堆栈溢出的回复后，我似乎也无法正确理解它。

这是我的教授提到的一个声明：

“Euclid 的 gcd 算法之所以有效，是因为它保持不变的 gcd(m, n) = gcd(n, r)，其中 r = m mod n”

我认为这是提到的欧几里德 GCD 的简化伪代码：

gcd(m, n) = gcd(n, r)

r = m % n
m = n
n = r

我对短语的不变部分感到困惑。来自维基百科的说法是，不变量是“在某个执行阶段始终为真的逻辑断言”。但老实说，我不太明白它们的意思。

为什么 gcd(m,n) = gcd(n,r) 被认为是不变量？有人能把这个短语变哑，让像我这样没有受过教育的人能理解为什么下面的例子是不变的吗？

是否有人可以提供任何简单的变体程序示例，以便我可以看到变体和不变量之间的区别？如有任何帮助，我将不胜感激。

【问题讨论】：

我真的很好奇你的教授试图教你的“变体”的定义是什么；通常当我看到我认为“有人只是在寻找一种不同的做事方式”
它们的意思是，在程序中的那个时刻，语句总是（“总是”）为真。
感谢 Rici，这更有意义。我认为这是一时兴起的例子。我们并没有真正涵盖变体或不变量。

标签： algorithm invariants

【解决方案1】：

这已得到解答，但似乎并未解决不变性的真正含义。不变量是问题中不变的属性。

例如，考虑下面的谜题：有一个棋盘，斜对角的方格不见了。是否可以用多米诺骨牌（一对正方形，一个黑色和一个白色）来平铺棋盘。现在如果你看这个问题，你可以看到有一个固定的属性：当一个瓦片被移除时，会移除一个黑色和一个白色的方块。因此不变量是属性：黑色方块的数量==白色方块的数量。因此，我们可以得出结论，这个问题是无法解决的，因为对面的方格是相同的颜色，并且我们有一个经过修改的棋盘，黑棋和白棋的数量不相等。

所以基本上教授要做的是确定一个在问题的生命周期内不变的属性，然后使用它。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果我们采用 Wikipedia 定义，不变式将是“当前数字对的 GCD 与原始数字对的 GCD 相同”。我们从一对到另一对的方式（{m,n} -> {n,m%n}）当然是算法的一部分，但与不变量并不真正相关。

所以用这些术语可以描述算法：每次我们跳到一个更简单（较小数字）的问题，相同答案。

【讨论】：