如何确定一个点是否位于 3D 三角形上方答案

【问题标题】：How to determine if a point lies OVER a triangle in 3D如何确定一个点是否位于 3D 三角形上方
【发布时间】：2014-10-20 03:29:57
【问题描述】：

我需要一个快速算法的例子，可以计算一个点是否位于 3D 三角形上。我的意思是如果这个点在包含给定三角形的平面上的投影在这个三角形的内部。

我需要计算一个点和一个三角形之间的距离（如果它的投影位于三角形内部，则它在一个点和这个三角形的面之间，或者如果它的投影位于三角形之外，它就在一个点和一个三角形的边缘之间）。

我希望我说得足够清楚。我找到了一些使用重心坐标的 2D 示例，但找不到 3D 示例。有没有比计算点的投影、将此投影点和给定三角形投影到 2D 并解决标准“三角形中的点”问题更快的方法？

【问题讨论】：

您需要多快？投影实际上并不涉及很多计算。我将表示平面坐标系中的点（其法线是一个主轴），这可以通过三个点积来实现。如果您忽略深度轴，您将返回 2D。
从第一句话开始：说你会接受下面的结束是准确的吗？下面仍将在投影内。编辑：另外，如果优化是问题的焦点，你能告诉我们这些东西有多少依赖于运行时常量，有多少依赖于变量吗？即可以预先支付哪些费用？
@Nico Schertler，聪明，我没想过。我想没有几何的时间太长了。汤米，我将尝试为定义的网格计算一次这些值，然后在运行时使用三线性或三次三次近似对其进行近似。无论如何，我希望它尽可能快地工作。
@Nico Schertler，我现在觉得自己非常愚蠢，但我不知道如何使用 3 点积来转换这些点。假设我有一个点P(x, y, z) 和一个平面Ax + By + Cz + D = 0。正常 n 是例如n = [A, B, C] 所以它将是我们的 z（深度）轴。下一步是什么？
你需要任何原点O（可以是三角形的质心）。然后你需要另外两个垂直于n 的轴。这些可以用叉积计算，例如y = cross(n, (1, 0, 0)); x = cross(y, n)。那么你的点在本地系统中的坐标是(dot(x, p-O), dot(y, p-O), dot(n, p-O))。如果n 与(1, 0, 0) 平行，则需要另一个方向。

标签： algorithm 3d geometry point

【解决方案1】：

如果三角形的顶点是 A、B、C 并且点是 P，那么首先要找到三角形的法线 N。为此，只需计算 N = (BA) X (CA)，其中 X 是向量叉积。

目前，假设 P 与其法线位于 ABC 的同一侧。

考虑具有 ABC、ABP、BCP、CAP 面的 3d 金字塔。当且仅当 ABC 与其他 3 个三角形中的每一个之间的二面角都小于 90 度时，P 到 ABC 的投影在其中。反过来，这些角度等于 N 和相应的朝外三角形法线之间的角度！所以我们的算法是这样的：

Let N = (B-A) X (C-A), N1 = (B-A) X (P-A), N2 = (C-B) X (P-B), N3 = (A-C) X (P-C)
return N1 * N >= 0 and N2 * N >= 0 and N3 * N >= 0;

星星是点积。

我们仍然需要将 P 位于 ABC 对面的情况视为正常情况。有趣的是，在这种情况下，向量 N1、N2、N3 现在指向金字塔，在上述情况下，它们指向外面。这取消了相反的法线，上面的算法仍然提供了正确的答案。（发生这种情况时你不喜欢吗？）

3d 中的叉积每个都需要 6 次乘法和 3 次减法。点积是 3 次乘法和 2 次加法。平均而言（考虑例如如果 N1 * N

如果三角形的形状可能很差，那么您可能希望使用 Newell 算法来代替任意选择的叉积。

请注意，此处不处理任何三角形退化（线或点）的边缘情况。您必须使用特殊情况代码来执行此操作，这还不错，因为零法线说明了 ABC 和 P 的几何形状。

这是 C 代码，它使用简单的标识来重用操作数，比上面的数学更好：

#include <stdio.h>

void diff(double *r, double *a, double *b) {
  r[0] = a[0] - b[0];
  r[1] = a[1] - b[1];
  r[2] = a[2] - b[2];
}

void cross(double *r, double *a, double *b) {
  r[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];
  r[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];
  r[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];
}

double dot(double *a, double *b) {
  return a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];
}

int point_over_triangle(double *a, double *b, double *c, double *p) {
  double ba[3], cb[3], ac[3], px[3], n[3], nx[3];

  diff(ba, b, a);
  diff(cb, c, b);
  diff(ac, a, c);

  cross(n, ac, ba);  // Same as n = ba X ca

  diff(px, p, a);
  cross(nx, ba, px);
  if (dot(nx, n) < 0) return 0;

  diff(px, p, b);
  cross(nx, cb, px);
  if (dot(nx, n) < 0) return 0;

  diff(px, p, c);
  cross(nx, ac, px);
  if (dot(nx, n) < 0) return 0;

  return 1;
}

int main(void) {
  double a[] = { 1, 1, 0 };
  double b[] = { 0, 1, 1 };
  double c[] = { 1, 0, 1 };
  double p[] = { 0, 0, 0 };

  printf("%s\n", point_over_triangle(a, b, c, p) ? "over" : "not over");

  return 0;
}

我已经对其进行了简单的测试，它似乎工作正常。

【讨论】：

谢谢，我喜欢这个解决方案。特别是检查适当的角度也有助于我检查点是否超出边缘。

【解决方案2】：

假设三角形的顶点是v、w，原点是0。让我们把这个点称为p。

为了其他读者的利益，这里是您提到的 2D 三角形内点的重心方法。我们在变量beta中求解以下系统：

[v.x w.x] [beta.v]   [p.x]
[v.y w.y] [beta.w] = [p.y] .

测试是否0 <= beta.v && 0 <= beta.w && beta.v + beta.w <= 1。

对于 3D 三角形投影点，我们有一个类似但超定的系统：

[v.x w.x] [beta.v]   [p.x]
[v.y w.y] [beta.w] = [p.y] .
[v.z w.z]            [p.z]

linear least squares 解为在v 和w 跨越的平面上最接近p 的点给出系数beta，即投影。对于您的应用，通过以下正规方程的解决方案可能就足够了：

[v.x v.y v.z] [v.x w.x] [beta.v]   [v.x v.y v.z] [p.x]
[w.x w.y w.z] [v.y w.y] [beta.w] = [w.x w.y w.z] [p.y] ,
              [v.z w.z]                          [p.z]

从中我们可以使用五个点积将问题简化为二维情况。这在复杂性上应该与 Nico 建议的方法相当，但没有奇点。

【讨论】：