置换函数的运行时间

Question

我的书为计算一串唯一字符的所有排列的函数提供了以下代码（参见下面的代码），并说运行时间为 O(n!)，“因为有 n! 个排列。 "

我不明白他们如何将运行时间计算为 O(n!)。我假设他们的意思是“n”是原始字符串的长度。我认为运行时间应该是O((n + 1)XY)，因为getPerms函数会被调用(n + 1)次，而X和Y可以代表外层和内层for循环的运行时间分别。有人可以向我解释为什么这是错误的/这本书的答案是正确的吗？

谢谢。

public static ArrayList<String> getPerms(String str)
{
    if (str == null)
        return null;

    ArrayList<String> permutations = new ArrayList<String>();

    if (str.length() == 0)
        permutations.add("");
        return permutations;

    char first = str.charAt(0); //first character of string
    String remainder = str.substring(1); //remove first character

    ArrayList<String> words = getPerms(remainder);
    for (String word: words)
    {
        for (i = 0; i <= word.length(); i++)
        {
            String s = insertCharAt(word, first, i);
            permutations.add(s)
        }
    }

    return permutations;

}

public static String insertCharAt(String word, char c, int j)
{
    String start = word.substring(0, i);
    String end = word.substring(i); 
    return start + c + end;
}

来源：Cracking the Coding Interview

Answer 1

根据我们的直觉，很明显没有现有算法可以生成 N 个项目的排列，其性能优于 O(n!)，因为有 n!可能性。

您可以将递归代码简化为递归方程，因为 gePerm(n) 其中 n 是长度为 n 的字符串将调用 getPerm(n-1)。然后，我们使用它返回的所有值，并放置一个循环 N 次的内部循环。所以我们有

P_n = nP_n-1
P₁ = 1

很容易看出P_n = n！通过伸缩方程。

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如果你很难想象我们是如何得出这个等式的，你也可以这样想

ArrayList<String> words = getPerms(remainder);
for (String word: words)                          // P(n-1)
{
    for (i = 0; i <= word.length(); i++)          // nP(n-1)
    {
        String s = insertCharAt(word, first, i);
        permutations.add(s)
    }
}

Answer 2

N元素的排列计数为N * (N - 1) * (N - 2) * ... * 2 * 1，即N!。

第一个字符可以是N 个字符中的任何一个。下一个字符可以是剩余的N - 1 字符之一。现在我们已经有了N * (N - 1) 可能的案例。

因此，继续我们将在每个步骤中处理N * (N - 1) * (N - 2) * ... 案例。

因为N 元素的排列计数是N!，那么没有一种实现可以比N! 更快地排列长度为N 的数组。