递归置换函数的运行时复杂度

Question

我编写了这段代码，它返回所提供字符串的所有排列。现在我想计算运行时复杂度并需要帮助。

代码递归调用permutationRecursively函数N次（对于字符串的每个字符，即st），然后有两个for循环，一个循环遍历从递归调用返回的所有排列（即a它将是 ['a'] 或 ab 它将是 ['ab', 'ba'] 等等），然后是每对排列。我真的对这部分感到困惑。这个特定部分的复杂性是多少？

我假设对于所有递归调用，它将是O(N)，然后对于内部循环，它将是O(A*B)。所以总数是O(N*A*B)。对吗？

def permutationRecursively(st):
    if(len(st) < 2):
        return [st]
    else:
        permutations = permutationRecursively(st[0:-1])
        newPermutations = []
        wordToInsert = st[-1]
        for permutationPair in permutations:
            for index in range(len(permutationPair)+1):
                newPermutations.append(permutationPair[0:index]+wordToInsert+permutationPair[index:])          
        return newPermutations

start_time = time.time()
permutationRecursively("abbc")
print("--- %s seconds ---" % (time.time() - start_time))

Answer 1

您的函数首先在大小为n-1 的输入上递归调用自身。然后它遍历结果的每个元素（其中有(n-1)!），并且对于每个元素，它都执行O(n²) 工作（因为len(permutationPair)+1 的长度为n，字符串连接为O(n)。

因此我们得到以下时间复杂度的递归关系T(n)：

T(n) = T(n-1) + (n-1)! n²

这个关系的渐近行为如下：

T(n) ∈ Θ((n-1)! n²) = Θ(n!n)

所以，特别是T(n) ∉ O(n!)。