为什么归并排序的递归树的总层数是lg n + 1？答案

【问题标题】：Why the total number of levels of the recursion tree of a merge sort is lg n + 1?为什么归并排序的递归树的总层数是lg n + 1？
【发布时间】：2013-11-08 06:19:57
【问题描述】：

我认为这里的问题是不言自明的，但我正在查看“算法简介”第 3 版第 37 页，它说图 2.5 中递归树的总层数为 lg n + 1，但我不明白你为什么要+1。谁能解释一下这背后的理由？谢谢

【问题讨论】：

尝试通过输入 n = 2 或 4 来检查有效性。
这不是合并排序特定的......顺便说一句，这本书稍后会证明这一点，请继续阅读。

标签： performance algorithm recursion mergesort

【解决方案1】：

我已经在视觉上详细解释了如何使用递归树计算归并排序的复杂度，看看here

【讨论】：

【解决方案2】：

这棵树应该包含 N 个叶子。层次为h的二叉树（根为1级）最多有2^(h-1)个叶子，所以我们断言2^(h-1) >= n，即h >= lg(n)+1 .同时它应该是一个完整的二叉树。具有 h 级的完整二叉树至少有 (2^(h-2)+1) 个叶子，即 2^(h-2)+1

当n=2^k，k+2>h>=k+1，所以h=k+1=lg(n)+1，书上就是这样。

而且，当n!=2^k时，会有ak，其中2^k>n>2(k-1)，我们有h>=lg(n)+1>k和h

总之，k = ceil(lg(n)+1)。其中ceil(lg(n)+1)表示不小于lg(n)+1的最小整数。

【讨论】：

【解决方案3】：

假设 N 等于 8。那么，我们有 4 个级别：

1. full array with size 8.
2. halves with size 4.
3. quarters with size 2.
4. eighths with size 1.

这是 lg n + 1。lg 8 = 3。lg 8 + 1 = 4。

【讨论】：

与图中的树匹配吗？