为什么LL语法不能是左递归的？

Question

在dragon book中，LL语法定义如下：

当且仅当对于任何产生式A -> a|b，满足以下两个条件时，语法才是 LL。

1. FIRST(a) 和 FIRST(b) 不相交。这意味着它们不能同时派生EMPTY

2. 如果b可以派生EMPTY，那么a不能派生任何以FOLLOW(A)开头的字符串，即FIRST(a)和FOLLOW(A)必须是不相交的。

   李>

而且我知道 LL 语法不能递归，但形式上的原因是什么？我猜左递归语法会与规则 2 相矛盾，对吧？例如，我写了以下语法：

S->SA|empty
A->a

因为FIRST(SA) = {a, empty}和FOLLOW(S) ={$, a}，那么FIRST(SA)和FOLLOW(S)不是不相交的，所以这个语法不是LL。但是不知道是不是左递归使得FIRST(SA)和FOLLOW(S)不相交，还是有其他原因？换句话说，每个左递归文法都会有一个违反LL文法条件2的产生式吗？

Answer 1

直观地说，因为您不能对左递归语法执行递归下降。

考虑 A -> Ab。我们不能进行递归下降，因为它会导致无限递归：

def A():
    A() # infinite recursion!
    expect('b')

Answer 2

LL(k) 语法允许构造一个确定性的下降解析器，只使用k 的前瞻符号。左递归的问题在于，在检查完整的输入字符串之前无法确定要应用哪个规则，这使得所需的k 可能无限。

使用您的示例，选择k，并为解析器提供长度为n >= k 的输入序列：

aaaaaaa...

解析器无法通过查看前面的k 符号来决定它是否应该应用S->SA 或S->empty，因为该决定取决于之前选择了多少次S->SA，这就是解析器的信息不具有。

解析器必须选择 S->SA 恰好是 n 次和 S->empty 一次，并且不可能通过查看输入流中的第一个 k 符号来确定哪个是正确的。

要知道，解析器必须同时检查完整的输入序列，并计算S->SA 被选择的次数，但这样的解析器会超出LL(k) 的定义。

请注意，无限前瞻不是解决方案，因为解析器在有限的资源上运行，因此总会有一个长度有限的输入序列，其长度足以使解析器在产生任何输出之前崩溃。

Answer 3

好的，我想通了，如果一个语法包含左递归产生式，比如：

S->SA

然后它必须以某种方式包含另一个产生式以“完成”递归，例如：

S->B

而且由于FIRST(B)是FIRST(SA)的一个子集，所以它们是联合的，这违反了条件1，在填充FIRST(B)和FIRST(SA中的终端对应的解析表条目时一定会发生冲突）。总而言之，左递归语法可能导致 FIRST 集的两个或多个产生式具有公共终结符，从而违反条件 1。

Answer 4

考虑你的语法：

S->SA|empty
A->a

这是三个规则的简写：

S -> SA
S -> empty
A -> a

现在考虑字符串aaa。它是如何产生的？如果您没有前瞻，则一次只能读取一个字符，因此您可以这样开始（您有 S 作为开始符号）：

S -> SA
S -> empty
A -> a

好的，你已经生成了第一个a。但是现在你不能再应用任何规则了，因为没有更多的非终结符了。你被困住了！

你应该做的是：

S -> SA
S -> SA
S -> SA
S -> empty
A -> a
A -> a
A -> a

但如果不阅读整个字符串，您将不知道这一点。您将需要无限量的前瞻。

在一般意义上，是的，每个左递归语法都可以有不明确的字符串，而无需无限前瞻。再看一下这个例子：S 有两种不同的规则。我们应该使用哪一个？