嵌套循环的大 O 时间复杂度

【问题标题】：Big-O Time Complexity of Nested Loop嵌套循环的大 O 时间复杂度
【发布时间】：2019-04-06 13:50:34
【问题描述】：

谁能告诉我以下嵌套循环的时间复杂度是多少：

 for(i=1;i<n;i+=i)
 {
    for(j=1;j<n;j*=j)
       //O(1)
 }

据我所知，这将是 O(log(n)*log(log(n)) 由于外部循环将运行 log(n) 次，因为我们每次迭代都有效地将 i 乘以 2。在内部循环中，我们在每次迭代中对循环计数器 j 进行平方。所以最终的复杂度是这两者的乘积。这是正确的还是有其他答案。在此先感谢：D

【问题讨论】：

for(j=1;j<n;j*=j) - 这应该是 O(infinity) 因为j 永远不会增加（1 乘以 1 仍然是 1）。也许你的意思是例如j=2 作为初始条件？（如果这是一道作业题，那很可能是一道技巧题。）

【解决方案1】：

是的，复杂度是O(log2(n) * log2(log2(n)))。

内循环的索引j遵循递归关系j(k) = j(k-1)^2，即j(k) = j(0)^(2^k)（归纳证明）。假设j(0) = 2（不是1，否则你会无限循环）。

因此，内循环的迭代次数k验证

    j(k) >= n
<=> 2^(2^k) >= n
 => k >= log2(log2(n))

外循环的迭代次数>=log2(n)。

【讨论】：