这个递归算法的大 O答案

【问题标题】：Big O for this recursive algorithm这个递归算法的大 O
【发布时间】：2011-01-19 03:28:44
【问题描述】：

我做了以下涉及二进制堆结构的算法：

Algorithm: heapMinimum(node)
Input    : Position n
Output   : Sequence minList; containing the postions that hold the minimum value

1. minList <-- sequence
2. if parent(node) == NULL // current node is the root of the tree
3.   minList.insertLast(node)
4. if (leftchild(node).element() == node.element())
5.   concat(heapMinimum(leftchild(node), minList))
6. if(right(node).element() == node.element())
7.   concat(heapMinimum(rightChild(node), minList))
8. return minList

算法所做的基本上是遍历给定其根的二叉堆，以查找并存储保存最小值（即与根的值匹配的值）的节点。

现在，我无法以大 O 表示法计算算法的运行时间。我感到困惑的原因是因为用于遍历每个节点的左右子节点的递归。

除concat 外，所有操作都以恒定时间运行，O(1)。但是我该如何计算这种递归解决方案的运行时间呢？

【问题讨论】：

看看堆上操作的复杂性：en.wikipedia.org/wiki/…

标签： algorithm heap big-o tree-traversal

【解决方案1】：

对我来说看起来像 O(N)，其中 N 是元素的数量。如果您的堆只包含相等的元素，则将遍历所有元素。另外，为什么不是 concat O(1)？只要您“连接”数字，它也应该是 O(1)。但是，如果 concat 以某种方式是 O(N) （从您的伪代码看起来是这样 - 但是您应该重新考虑是否真的需要连接两个返回的列表），那么总时间将为 O(N^{2 sup>) 最坏的情况。}

【讨论】：

嗯，我认为concat 的原因是线性时间O(n)，因为它与两个输入序列的大小成正比增长。您认为我应该使用什么结构来使其达到恒定时间？
只需使用堆大小的向量，或链表来节省空间。这样就不需要 concat，您只需将递归调用的结果附加到列表的末尾即可。

【解决方案2】：

我假设您在谈论二进制堆？

根据堆属性的定义，你应该只递归直到你找到一个大于根的元素。但是，您还必须确定树的当前级别上的其他元素都不与根的大小相同。本质上，这会产生这样的规则：一旦遇到大于根的堆元素，就不需要递归到元素的子元素。

但是，在最坏的情况下，每个元素都可能等于根。在这种情况下，您必须检查整个堆，这会产生 O(n) 时间，其中 n 是堆中的元素数。

所以要回答你的问题，它是 O(n)

【讨论】：

正如 IVlad 指出的，如果你的 concat 不是 O(1)，那么你使用了错误的数据结构来存储它。在这种情况下，一个简单的链表可以工作，一个可调整大小的数组（如向量）也可以。对于大型堆，每次在 concat 列表上运行的惩罚可能非常低效。如果 concat 操作不是 O(1)，因为它存储的数据的性质（例如，每个元素都是一个序列），那么您需要使用不同的变量对其进行计数。示例：O(n * k) 其中 n = 堆大小，k = 最长序列大小。
所以concat 例如，基于数组的加倍策略向量将花费恒定时间将两个向量连接在一起？
@Andreas 正如我所指出的，计算取决于您希望存储的数据类型。从插入操作到您的列表的角度来看，它应该是 O(1) （意味着您每次想要连接时都不会遍历整个列表）。 concat 下的具体操作可能不是 O(1)，因此需要使用不同的变量来计算这个操作。如果可能，您希望将该向量初始化为具有足够大的大小来容纳所有数据。为了节省空间，您改为使用链表。是不是更清楚一点？
如果我理解正确的话，他在存储位置，所以应该使用整数链表，这意味着绝对是 O(1)。

【解决方案3】：

正如其他人所提到的，如果你的 concat() 是 O(1) [如果不是，你可以这样做] 那么你的算法在输出大小上是 O(N)。

但是，如果您使用 concat() 来复制您的列表（取决于系统，这可能很容易意外地做到），那么最坏的情况是输出大小为 O(N^2)。导致这种行为的一种情况是，当您的最小节点深入到树中时，您的 concat() 会不断复制每个级别的列表。

请注意，此深度受堆深度的限制，因此如果您的树是平衡的，那么最坏的情况也是数据结构大小的 O(M log M)。您可以看到这一点，因为最大副本数是树的深度。

【讨论】：

【解决方案4】：

我想您的解决方案中存在错误。第一次检查：

如果父（节点）== NULL

必须删除，但必须添加对 node != NULL 的检查。

此外，我建议使用列表作为附加参数，您将在其中放置答案。所以，这就是我的实现：

Algorithm: heapMinimum(node, minList)
if (node != NULL)
{
   if (minList.empty() || minList.getFirst().element() == node.element())
   {
      minList.insertLast(node)

      heapMinimum(left(node),  minList)
      heapMinimum(right(node), minList)
   }
}

假设向列表中添加一个元素需要 O(1)，我们得到该函数需要 O(k)，其中 k 是堆中最小值的数量。

享受吧。

【讨论】：