一个图可以有多个最小生成树答案

【问题标题】：It is possible for a graph to have multiple minimum spanning trees一个图可以有多个最小生成树
【发布时间】：2021-04-12 01:52:14
【问题描述】：

令 G=(V, E) 是一个无向图，所有的边都有唯一的权重。是不是真的那个 G 有一个唯一的 MST？或者G也可以有多个MST？

【问题讨论】：

答案可能是no；多个 ST 是可能的（取决于图表），但是，如果每条边都有一个 unique weight，则只有一个 MST 是可能的。
@anurag 你能详细说明一下吗？更多不可能的原因？
@anurag：我认为权重唯一性还不够。
@YvesDaoust 我目前无法想到当边缘具有唯一权重时可以生成多个 MST 的情况！ Prim和Kruskal算法只有在唯一性约束不存在的情况下才能生成不同的MST！
MST是独一无二的，问题已经在这里回答了：stackoverflow.com/questions/41192157/…

【解决方案1】：

根据 MST 的定义（来源：wikipedia）-

最小生成树 (MST) 或最小权重生成树是连接的边加权无向图的边的子集，它将所有顶点连接在一起，没有任何循环，并且具有最小可能的总边权重。

目标是覆盖所有个顶点，同时具有最低边权重总和。此外，生成树 (ST) 是一棵树，因此没有循环 -

在上图中，橘子树是ST，但只有最上面的可以是MST（边权总和为7）。

编辑

反证法：

让是一个具有唯一边权重的无向图。让和成为图的两个不同最小生成树。

让成为中权重最低的边，但不是。同样，让成为中的边缘，但不是。

现在，由于边权重是唯一的，不失一般性，让。

另外，如果我们在中添加，将与形成一个循环。要删除循环，让我们从中删除边缘。因此，我们有一个生成树。

这个ST，，现在总重量小于；但是，这是一个矛盾，因为已经是 MST。

因此，我们假设有两个 MST 开头是错误的。证明到此结束。

【讨论】：

您仅展示了一个示例，但问题是关于所有具有唯一权重的无向加权图。
@MoB。为了证明任何概念是错误的，我们只需要一个反例。我明白，我的回答并没有这样做，但是，这只是一个例子。 MST 的标准算法是 Prim 和 Kruskal；并且它们没有唯一的边权重约束。