为什么这个循环返回一个 O(n log log n) 而不是 O(n log n) 的值？

Question

考虑以下 C 函数：

int fun1 (int n)
{
    int i, j, k, p, q = 0;

    for (i = 1; i<n; ++i)
    {
        p = 0;

        for (j=n; j>1; j=j/2)
            ++p;

        for (k=1; k<p; k=k*2)
            ++q;
    }
    return q;
}

问题是决定以下哪个最接近函数fun1的返回值？

(A) n^3
(B) n (logn)^2
(C) nlogn
(D) nlog(logn)

这是给出的解释：

int fun1 (int n)
{
    int i, j, k, p, q = 0;

    // This loop runs T(n) time 

    for (i = 1; i < n; ++i)
    {
        p = 0;

        // This loop runs T(Log Log n) time
        for (j=n; j > 1; j=j/2)
            ++p;

        // This loop runs T(Log Log n) time
        for (k=1; k < p; k=k*2)
            ++q;

    }
    return q;
}

但如果循环变量除以/乘以一个常数，则循环的时间复杂度被认为是 O(Logn)。

for (int i = 1; i <=n; i *= c) {
    // some O(1) expressions
}

for (int i = n; i > 0; i /= c) {
    // some O(1) expressions
}

但有人提到内部循环每个都需要 Θ(Log Log n) 时间，谁能解释一下为什么 ar 的答案是错误的？

Answer 1

答案是 (D) O(n * log(log n))。原因如下：-

第一个 for 循环包含另外 2 个分别基于 j 和 k 值的 for 循环。此外，j 从 n 减半，直到大于 1。因此，p 将等于最大整数（log n）。并且，k 加倍直到等于 p --- 其中 p 已从前一个循环中设置并且将等于 [log n]，其中 [x] 等于 x 的最大整数。

因此，第三个循环将运行 log (log n) 时间，因此 q 的值将是 log (log n)。因此，两个内部循环都是运行 n 次的外部 for 循环的一部分。

q的近似值 = n* log (log n)) = O(n log(log n))。

Answer 2

我在这里看到的唯一错误是关于第二个循环： 对于 (j=n; j>1; j=j/2) 你在 cmets 中说：这个循环运行 Θ(Log Log n) 时间

在我看来，这个循环运行 O(Log n) 次

第一个和第三个循环的运行时间是正确的（O(n) 和 O(Log Log n)）。

编辑：我同意前面的回答。我没有注意到问题是关于返回值，而不是运行时间！

Answer 3

这个问题很棘手——代码的运行时和返回值是有区别的。

第一个循环的运行时间确实是 O(log n)，而不是 O(log log n)。我在这里转载了：

p = 0;
for (j=n; j > 1; j=j/2)
  ++p;

在每次迭代中，j 的值都会下降两倍。这意味着该循环终止所需的步数由 k 的最小值给出，使得 n / 2^k ≤ 1。求解，我们看到 k = O(log ₂ n).

请注意，此循环的每次迭代都会将 p 的值增加一。这意味着在循环结束时，p 的值为 Θ(log n)。因此，下一个循环确实在 O(log log n) 时间内运行：

对于 (k=1; k

原因是，使用与上一节类似的推理，此循环的运行时间为 Θ(log p)，并且由于 p = Θ(log n)，因此最终为 Θ(log log n) .

但是，问题是不是询问运行时是什么。它询问返回值是什么。在每次迭代中，最终返回的 q 的值会增加 Θ(log log n)，因为在时间 Θ(log log n) 中运行的循环的每次迭代都会增加一次。这意味着 q 的净值为 Θ(n log log n)。因此，虽然算法运行时间为 O(n log n)，但它返回的值是 O(n log log n)。

希望这会有所帮助！