高于 T(n) 的大 Oh 符号答案

【问题标题】：Big Oh notation higher than T(n)高于 T(n) 的大 Oh 符号
【发布时间】：2021-12-19 11:19:15
【问题描述】：

我刚刚学习了 Big-Oh 符号并看到了以下问题：

(1) Is T(n) = 10n^4 + 850n = O(n^3) ??
(2) Is T(n) = 10n^4 + 850n = O(n^4) ??
(3) Is T(n) = 10n^4 + 850n = O(n^30) ??

我已经理解 (1) Big-Oh 表示上限，因此它不能是 O(n^3)，因此 (1) 是错误的。同样，(2) 为真。

关于（3）。应该是真的吗？如果算法的 T(n) 是线性的，我们是否也可以用 O(n^2) 等表示它，因为 Big Oh 描述了上限？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

从形式上讲，这是真的，是的。为了表示精确（“紧密”）的界限，使用了大 Theta (Θ) 概念，而大 Oh 允许复杂度低于所述的。 （如果问题要求你给出一个答案，那么他们可能意味着第二个。）

【讨论】：

不完全正确。可能存在没有 Θ 表示的函数（例如 N² 表示偶数 N，N³ 表示奇数 N）。对于这样的函数，紧边界是 O(N³) 和 Ω(N²)。
@YvesDaoust ，是的，但同样的函数适用于 O(N^30) 和 Omega(N)，例如。当然，在实践中，我们通常对尽可能准确的边界感兴趣，但 Oh 和 Omega 的正式定义并不要求这样做
如你所知，我在讨论严格的界限。 “为了表示精确（“紧密”）的界限，使用大 Theta (Θ) 概念是错误的。
@YvesDaoust ，我认为我们只是在这里使用不同的术语。我所说的“紧密界限”是一个表达式，它同时是给定函数的上限和下限，这就是 Theta 的定义。您的意思似乎更像是“f 的所有上限中的渐近最小”，这是另一个（可能）有效但不同的概念。根据this wikipedia page，你的意思经常用big Oh非正式表达，我在斜体注释中暗示了这一点。
是的，我使用了紧，其含义与紧不等式中的含义相同。 Θ 在上面和下面都是隐式紧的，但即使有紧的界限它也可能不存在。