哪个更快？ O(2^n) 或 O(n!)答案

【问题标题】：Which one is faster? O(2^n) or O(n!)哪个更快？ O(2^n) 或 O(n!)
【发布时间】：2021-12-22 06:43:53
【问题描述】：

我正在研究算法的复杂性，并试图弄清楚我脑海中出现的这个问题 - O(n!) 比 O(2^n) 快还是相反？

【问题讨论】：

标签： math time-complexity

【解决方案1】：

O(2^n) 是 2 * 2 * 2 * ... 其中O(n!) 是 1 * 2 * 3 * 4 * ...

O(n!) 会很快变大 - 所以O(2^n) 会更快。

例如：2^10 = 1024 和 10! = 3628800

【讨论】：

是的，但是如果我们以 n=3 为例，那么 O(2^n) 是 8 而 O(n!) 是 6，这意味着对于一个小的 n 值，O(2^ n) 比 O(n!) 快.. 这让我感到困惑
@Integrity Big-O 表示法意味着 ..当 N 接近无穷大时。 所以 N 的小值并不重要，重要的是 N 变大时会发生什么.

【解决方案2】：

您可以尝试使用 Stirling 近似 for n! https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

 n! = (n / e)^n * sqrt(2 * Pi * n) * (1 + o(n))

现在来比较一下

 O(n!) <=> O(2^n)

为了找出正确的字母<、= 或>，让我们计算一下limit

 lim (n! / 2^n) =
   n -> +inf

 lim (n / e)^n * sqrt(2 * pi * n) / 2^n >=
   n -> +inf

 lim n^n / (2 * e)^n >= // when n > 4 * e
   n -> +inf

 lim (4 * e)^n / (2 * e)^n =
   n -> +inf 

 lim 2^n = +inf
   n -> +inf

所以

 lim (n! / 2^n) = +inf
   n -> +inf

表示O(n!) > O(2^)

【讨论】：