ODE 的数值方法和一致的术语答案

【问题标题】：Numerical methods for ODE and consistent terminologyODE 的数值方法和一致的术语
【发布时间】：2016-09-18 22:25:51
【问题描述】：

大家好！

我是“ODE 的数值方法”主题的新手。我阅读了一些基本文献，但由于大多数概念和方法对我来说都是新的，我想问你，如果我理解所有内容，你是否可以给我反馈（如果有错误的陈述/定义，如果你可以纠正他们:))

a) 基于泰勒级数近似：欧拉、龙格库塔等。目标：具有与泰勒级数相似的精度，但不计算导数。开发了变通方法，您仅在某些点评估函数而不计算导数。

b) 基于插值多项式：多步法，搭配法：利用过去的信息；没有中间计算（如在 Runge-Kutta 中）。总体思路：使用过去的数据拟合多项式 + 从 tn 外推到 tn+1

稳定性：此图显示了特定测试功能的稳定性：

不幸的是，在稳定性方面，这取决于我们要解决的 ODE。所以没有通用的说法：这个方法对于这个ODE是否稳定。所以我们正在创建一个所谓的“模型问题”（见图），我们可以在其中比较不同的方法。 --> 对吗？

显式龙格-库塔方法通常不适合求解刚性系统，因为它们的绝对稳定性区域很小。有什么具体原因吗？谁能用简单的话解释一下？

刚性系统具有不同的时间常数（快、慢）。

隐式方法：比显式方法具有更好的稳定性。显式方法不能是 A 稳定的（左平面上的一切都是稳定的）。 A-stable 方法对步长没有限制，它们非常快！谁能用简单的话解释一下为什么（某些）隐式方法是 A 稳定的

隐式方法的计算量更大，但您可能需要的步骤更少。

关于：“不限制步长”：这是否意味着“即使数值解完全错误（步长很大），系统也稳定？

在刚性系统（和稳定性？）方面，为什么与单步方法相比，多步方法具有优势？

【问题讨论】：

这看起来总体上不错，但你会在stackexchange的科学计算（scicomp）或数学（math）论坛中得到更好的答案。（对于 RK 方法、Butcher 树等，您需要的不仅仅是 Taylor，而且您同样可以很好地使用 Taylor 展开来计算多步方法。）

【解决方案1】：

关于 Runge-Kutta 方法的稳定性领域。

您可以如下编写显式 Runge Kutta 方法：

令 d/dt(x) =Ax。然后 Psi( tau ) = P( tau*A )x，其中 P 是多项式，Psi 是相流且 tau>0。如果你应用这个定理：

“多项式的稳定区域是紧致的。”

您明白为什么显式 Runge-Kutta 方法的稳定性区域较小。如果 z 收敛到 +/- 无穷大，P(z) 显然收敛到 +/- 无穷大。

另一方面，隐式 Runge-Kutta 方法可以写为 Psi(tau)=R(tau*A)x，其中 R 是两个多项式的商 Q = P/Q，Psi 是相流，tau >0。这就是为什么它们的稳定区域可以更大的原因。

【讨论】：