算法：寻找 n 和 i 之间的模式？

Question

我有以下简单的算法：

int i = 2;
int n = {Domain is all integers >= 2}

while (I < N)
I = I * I;
execute(command);
end-while

我了解执行命令的次数（例如，n=16 将执行 3 次、n=256、4 次等）
我想知道用 N 表示执行次数的最佳方式。

Answer 1

你只需要知道logarithm的简单概念。

但这不仅仅是一个简单的单级对数，一个简单的对数可以解决这样的问题：

2^k = n ==> log₂(n) = k

但你有：

2^2k = n ==> log₂(log₂(n)) = k

所以你的答案是：log₂(log₂(n))

您的迭代证明是 2^2k：

第一次迭代你有 2²¹ = 4 假设第 k 次迭代你有 2^{2 k} 现在你有 k+1 迭代：

2^2k * 2^2k = 2^{2 k + 2k} = 2^2k+1 并通过归纳证明： )

Answer 2

如果您只需要公式，那很简单。您需要计算将有多少次迭代......只需分析I 在每次迭代中将如何增长。

1. I = i^2 = i^(2^1)
2. I = i^2^2 = i^(2^2)
3. I = i^2^2^2 = i^(2^3)
4. I = i^2^2^2^2 = i^(2^4)

等等。 k-th 是 i^(2^k)

现在您需要从I 获取k。

log i (I) = log i (i^(2^k)) => (2^k)

log 2 (2^k) => k

k = log i (log 2 (I))

现在，您可以应用 I 始终低于 N，因此迭代次数受 log i (log 2 (N)) 的约束。确切的数字需要根据您的边界条件进行调整。您没有在任何地方初始化I，因此假设I=i 在第一次迭代之前。此外，I <= N 和 I < N 将在确切的权力上有所不同。

Answer 3

据我所知，这个计算没有公式。由于执行次数与一组数字重复。我已经对这个最多 2 个幂 20 的数字进行了模拟。下面是python代码

1.for n= 2 Count is  0
2.for n= 4 Count is  1
3.for n= 8 Count is  2
4.for n= 16 Count is  2
5.for n= 32 Count is  3
6.for n= 64 Count is  3
7.for n= 128 Count is  3
8.for n= 256 Count is  3
9.for n= 512 Count is  4
10.for n= 1024 Count is  4
11.for n= 2048 Count is  4
12.for n= 4096 Count is  4
13.for n= 8192 Count is  4
14.for n= 16384 Count is  4
15.for n= 32768 Count is  4
16.for n= 65536 Count is  4
17.for n= 131072 Count is  5
18.for n= 262144 Count is  5
19.for n= 524288 Count is  5

代码

__author__ = 'Abhilash'
import math
i = 2;
n = 2048
k=[2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096, 8192 , 16384 , 32768 , 65536 , 131072 , 262144 , 524288 ]
for b in range(0,20):
    print int(math.pow(2,b)),",",
x=0
for b in range(0,len(k)):
    n=k[b]
    x=0
    i=2
    while i < n:
        i=i*i
        x=x+1
    print "for n=",n,"