为什么这个函数检查二叉树平衡的时间复杂度是 O(n log n)？

Question

Gayle Laakmann McDowell 对 Coding 采访的提示：

实现一个函数来检查二叉树是否平衡。 对于这个问题，定义了一个平衡树，使得高度 任何节点的两个子树的差异不超过一个。

（下面的示例实现。）

问题：你能帮我理解为什么作者说isBalanced有一个 O(n log n) 的时间复杂度？我在某种程度上可以理解并且可以很好地记住这一点，但我无法像O(n^2)这样的其他时间复杂性那样概念化为什么会出现这种情况。

int getHeight(TreeNode root) {
  if (root == null) { return -1; }
  return Math.max(getHeight(root.left), getHeight(root.right)) + 1;
}

boolean isBalanced(TreeNode root) {
  if (root == null) { return true; }

  int heightDiff = getHeight(root.left) - getHeight(root.right);
  if (Maths.abs(heightDiff) > 1) {
    return false;
  } else {
    return isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
  }
}

// isBalanced([some node]) --> true/false

我如何想象为什么isBalanced 被视为O(n log n)？

Answer 1

假设你有 BST

      4        // No of nodes 1
    /    \
   2      6    // No of nodes 2
 /  \    /  \
1    3  5    7 // No of nodes 4

您的函数isBalanced 正在遍历所有节点，包括没有子节点的节点，并调用getHeight 来计算左右子节点的高度。

函数的递归关系是

源于主定理

a = 递归子问题的数量

n/b = 每个子问题的大小

f(n) = 必须在递归调用之外完成的工作成本

a 是 2 因为我们必须访问每个父节点的两个子节点

b 是 2，因为如果您注意到每次上一层（从底部开始），节点数量都会减少一半。

f(n) 是 n 因为我们必须在每个节点上调用 getHeight()

满足Master Theorem的第二种情况，即

用数值证明f(n) = O(n^logb(a))

因此我们得到O(n log n)的时间复杂度