二次约束的线性化

Question

我在我的 pyomo 模型中遇到了二次约束。它或多或少地用 gurobi 解决了它，但它经常给我带来记忆问题。所以我线性化了这个二次约束。但是，现在我遇到了另一个问题：Link to Stackoverflow。所以我想知道我是否在线性化中犯了错误。

问题在于热泵可以提供制冷或制热，但不能同时提供两者。 二次版：

h(t) = p(t)*bh(t)*COPh  #quadratic const
c(t) = p(t)*bc(t)*COPc  #quadratic const
h(t) <= cap_hp
c(t) <= cap_hp*(COPc/(COPc+1)
bh(t) + bc(t) <= 1

线性化版本：

p(t) = h(t)/COPh + c(t)/COPc
h(t) <= cap_hp
c(t) <= cap_hp*(COPc/(COPc+1)
h(t) <= M * b(t) + 0 * (1-b(t))
c(t) <= 0 * b(t) + M * (1-b(t))

决策变量：p(t)：加热或冷却的电力消耗； h(t)：加热输出； c(t)：冷却输出； cap_hp：最大制热能力（热泵大小）； b(t)：二元变量，加热时为 1，冷却时为 0。或者在二次版本 bh(t) 或 bc(t) 中分别用于加热和冷却的二进制变量。 输入参数：COPh/c：“热泵在加热或冷却模式下的效率；M：大数

在 pyomo 代码下方（忽略热泵的技术细节，例如 COP，现在已更改）。 二次方：

m.b_hph = Var(year_i, ts_i, within=Binary)
m.b_hpc = Var(year_i, ts_i, within=Binary)
   
def ashpHeat_rule(m,y,ts):
    return sum(m.heat["heat_pump_air", hCons, y, ts] for hCons in hIn) == \
        sum(m.power[elSup, "heat_pump_air",y, ts] for elSup in elOut)\
        * m.b_hph[y,ts] * 3
m.const_ashpHeat = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpHeat_rule)

def ashpCool_rule(m,y,ts):
    return sum(m.cool["heat_pump_air", cCons, y, ts] for cCons in cIn) == \
        sum(m.power[elSup, "heat_pump_air",y, ts] for elSup in elOut)\
        * m.b_hpc[y,ts] * 2
m.const_ashpCool = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpCool_rule)

def ashpCapah_rule(m,y, ts):
    return sum(m.heat["heat_pump_air", hCons, y, ts] for hCons in hIn) <=\
        m.c_c["heat_pump_air"]
m.const_ashphCapa = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpCapah_rule)

def ashpCapac_rule(m,y, ts):
    return sum(m.cool["heat_pump_air", cCons, y, ts] for cCons in cIn) <=\
        m.c_c["heat_pump_air"] * (2/3)
m.const_ashpcCapa = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpCapac_rule)

def hpbin_rule(m,y,ts):
    return m.b_hph[y,ts] + m.b_hpc[y,ts] <= 1
m.const_hpbin = Constraint(year_i, ts_i, rule = hpbin_rule)

线性：

m.b_hph = Var(year_i, ts_i, within=Binary)

def ashpcons_rule(m,y,ts):
    return sum(m.power[elSup, "heat_pump_air",y, ts] for elSup in elOut) == \
        sum(m.heat["heat_pump_air", hCons, y, ts] for hCons in hIn)/4.5 +\
        sum(m.cool["heat_pump_air", cCons, y, ts] for cCons in cIn)/3.5
m.const_ashpcons = Constraint(year_i,ts_i, rule = ashpcons_rule)

def ashpheatdecision_rule(m,y,ts):
    return sum(m.heat["heat_pump_air", hCons, y, ts] for hCons in hIn) <=\
        99999 * m.b_hph[y,ts] + 0 * (1-m.b_hph[y,ts])
m.const_ashpheatdecision = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpheatdecision_rule)

def ashpcooldecision_rule(m,y,ts):
    return sum(m.cool["heat_pump_air", cCons, y, ts] for cCons in cIn) <=\
        0 * m.b_hph[y,ts] + 99999 * (1-m.b_hph[y,ts])
m.const_ashpcooldecision = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpcooldecision_rule)

def ashpCapah_rule(m,y, ts):
    return sum(m.heat["heat_pump_air", hCons, y, ts] for hCons in hIn) <=\
        m.c_c["heat_pump_air"]
m.const_ashphCapa = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpCapah_rule)

def ashpCapac_rule(m,y, ts):
    return sum(m.cool["heat_pump_air", cCons, y, ts] for cCons in cIn) <=\
        m.c_c["heat_pump_air"] * (3.5/4.5)
m.const_ashpcCapa = Constraint(year_i, ts_i, rule = ashpCapac_rule)

非常感谢您的帮助

阿克塞尔

Answer 1

而不是写

h(t) <= M * b(t) 
c(t) <= M * (1-b(t))
b(t) ∈ {0,1} 

我会直接使用：

h(t) <= capacity_h * b(t) 
c(t) <= capacity_c * (1-b(t))
b(t) ∈ {0,1} 

一般来说，我们不应该只使用大的 M 值。类似地，对于模型中的其他值 99999。如果您对这些 big-M 没有很好的值，请考虑替代公式，例如指标约束（Pyomo AFAIK 中不可用，但许多求解器都支持）。