n 个平面相交答案

【问题标题】：n planes intersectionn 个平面相交
【发布时间】：2012-01-28 08:36:16
【问题描述】：

我有 n 个 3D 平面，每个平面与原点的距离为 1.0。我知道它们都在空间中的某个点相交。我知道每个平面的法线（以及每个平面上的一个点，因为它们都沿法线与原点的距离为 1.0）。

有没有办法计算这个交点？我知道如何计算 2 或 3 个平面的交集，但我不知道如何处理可变数量的平面

谢谢

【问题讨论】：

标签： math 3d

【解决方案1】：

两个平面的交点是一条线。 3 个平面的交点是 3D 空间中的一个点。因此，在所有平面中，选择任意 3 个平面并找到它们的交点。所有其他平面（如果它们确实在同一点相交）也将在这一点相交。这就是您要寻找的重点！

【讨论】：

【解决方案2】：

通常，通过平面上的点 (P) 和平面的法线向量 (N) 来定义平面。这个定义当然适用于任何数量的维度，因为 P 和 N 是通用向量。因此，如果一个点 X 在平面内

dot(X - P,N) == 0

我们可以重写那个点积的形式

dot(X,N) == dot(P,N)

当然，这些点积可以在X的变量中展开成一个简单的线性方程。

所有这些如何转化为我们可以使用和写下的方程式？例如，在 3-d 中，可以考虑通过点 [1 2 3] 的平面，其法线向量为 [1 0 2]。

因此，如果以下等式成立，则点 [x,y,z] 位于该平面内：

dot([x,y,z],[1,0,2]) == dot([1 2 3],[1 0 2])

或者，

x + 0*y + 2*z = 7

我的观点是，如果你有一个 3-d 平面，它对应于未知数 [x,y,z] 中的一个方程。如果你在这三个未知数中有多个方程（多个平面），那么你就有了一个线性方程组。

您应该使用线性代数来求解该方程组。当有超过 3 个方程时，系统（假设各个平面不形成奇异系统）通常不会有满足所有方程的精确解。这称为超定系统，使用线性最小二乘法求解使残差平方和最小的参数集 [x,y,z]。

【讨论】：