Python Pollard P-1 分解

Question

我正在尝试在 Python 中实现 Pollard 的 P-1 分解。请注意，Rho 方法有一些答案，但这个 p-1 是不同的，关于 p-1，我可以在这里为您提供的最好的答案是 wiki 和 Wolfram：

http://en.wikipedia.org/wiki/Pollard's_p_%E2%88%92_1_algorithm

http://mathworld.wolfram.com/Pollardp-1FactorizationMethod.html

这是从 n 中分解出一些东西，但始终找不到 p。 np 和 sp 分别来自 numpy 和 scipy。所以 sp.uint64 的内置函数是一个 unsigned long 64 int （因为预期整数的大小），而 np.prod(p) 是列表 p 的累积乘积 pi：

def pm1_attack(n,b):
  p = [2,3,5,7,11,13,17]; i=19; a=2
  while i<b:
    if is_prime(i,10): p.append(i)
    i+=2;
  k = sp.uint64(np.prod(p)); q = power2(a,k,n)
  g = euc_al_i((q-1),n)
  print "product pi: ",k
  print "q: ",q
  print "g: ",g
  #return a

print "pollard_pm1_attack(n,b): ",pollard_pm1_attack(n,2000)

输出没有找到p：

Python 2.7 (r27:82525, Jul  4 2010, 09:01:59) [MSC v.1500 32 bit (Intel)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>> ================================ RESTART ================================
>>> 
p = 1300199 
q = 2063507 

euler_totient = 2682966374188 

common n = 2682969737893 


public key e = 1588051820871 

secret key d = 2410616084843 

cleartext message = test 

encoded message = 1489995542681 

decoded message = test 

check_rsa = Successful encryption and decrytion. Message is authenticated. 

pollard_pm1_attack(n,b):  product pi:  18446744073460481730
q:  2391570546599
g:  1
None
>>> 

我正在学习 Python，所以可能是一些简单的错误。 power2() 函数使用平方求幂，基本上是一个超大整数的超强 pow()。 euc_al_i() 只是 gcd。你可以使用任何你喜欢的 gcd()，但是因为我正在学习我想自己做这些。

我正试图找出这里出了什么可怕的错误，以至于它甚至无法从相对较小的 n（小至 20 位长度）中找到 p。

Answer 1

我不知道np.prod和sp.uint64是做什么的，但是我可以告诉你p-1算法，由约翰·波拉德于 1974 年发明。

Pollard 的算法基于费马小定理 a ^ p == a (mod p)，其中当 a != 0 可以表述为 a ^ (p - 1) == 1 (mod p ) 通过将 a 除以表达式。因此，如果 p - 1 整除 m，则 p 整除 gcd(2^m - 1， n）。 Pollard 的 p - 1 算法将 m 计算为小于界限 b 的整数的最小公倍数，因此如果 b 的所有因子em>p - 1 小于 b，则 gcd(2 ^ lcm(1..b) - 1, n) 是 n 的一个因数。最小公倍数的计算方法是将小于 b 的素数乘以小于 b 的素数：

function pminus1(n, b)
    c := 2
    for p in primes(b)
        pp := p
        while pp < b
            c := powerMod(c, p, n)
            pp := pp * p
    g := gcd(c-1, n)
    if 1 < g < n return g
    error "factorization failed"

可选的第二阶段搜索 b1 和 b2 之间的“大素数”，它与第一阶段的最小公倍数结合以找到一个因子。第二阶段只需要对每个素数进行模乘，而不是模幂运算，因此速度非常快，并且第二阶段的 gcd 可以批量计算。缓存虽小，但对函数的效率很重要。

function pminus1(n, b1, b2)
    c := 2
    for p in primes(b1)
        pp := p
        while pp < b
            c := powerMod(c, p, n)
            pp := pp * p
    g := gcd(c-1, n)
    if 1 < g < n return g
    k := 0
    for q in primes(b1, b2)
        d := q - p
        if d is not in cache
            x := powerMod(c, d, n)
            store d, x in cache
        c := (c * x(d)) % n
        p := q
        k := k + 1
        if k % 100 == 0
            g := gcd(c-1, n)
            if 1 < g < n return g
    g := gcd(c-1, n)
    if 1 < g < n return g
    error "factorization failed"

有可能Pollard的p-1方法可能找不到n的因子；它取决于 n - 1 的因式分解和您选择的边界。检查的方法是自己因子n - 1，然后用大于n的最大因子的b调用Pollard的方法 - 1. 例如，如果您想分解 n = 87463 = 149 * 587，请注意 n - 1 = 87462 = 2 * 3 * 3 * 43 * 113，所以调用 b = 120 的单阶段算法或 b1 = 50 和 b2 = 120 的两阶段算法，看看你是否找到一个因素。

我在my blog 讨论了 Pollard 的 p - 1 分解算法以及其他几种分解算法。我还提供了 powerMod 和 gcd 函数的实现，以防您在实现这些函数时遇到问题。我用 Python 在http://ideone.com/wdyjxK 写了一个简单的单阶段算法实现。

Answer 2

这是一个用python实现的两阶段版本。

from math import gcd, log

def pminus1(n, B1, B2):
    log_B1 = log(B1)
    M = 1
    primes = prime_sieve()
    for p in primes:
        if p > B1:
            break
        M *= p**int(log_B1/log(p))
    M = pow(2, M, n)
    g = gcd(M-1, n)
    if 1 < g < n:
        return True
    if g == n:
        return False

    # Start part 2.
    cache = {0:M}
    S = (M*M) % n
    for d in range(2, int(log(B2)**2), 2):
        cache[d] = cache[d-2] * S) % n

    HQ = M
    for k, q in enumerate(primes):
        if q > B2:
            break
        d = q - p
        HQ = (HQ * cache[d]) % n
        M = (M * (HQ-1)) % n
        p = q
        if k % 200 == 0:
            if 1 < gcd(M, n) < n:
                return True
    return 1 < gcd(M, n) < n