大数的因式分解答案

【问题标题】：Factorization of large numbers大数的因式分解
【发布时间】：2011-02-08 11:15:25
【问题描述】：

在课堂上我们发现了这个编程问题，目前我们不知道如何解决。

给出正整数n。已知n = p * q，其中p 和q 是素数，p<=q 和|q-k*p|<10^5 对于某些给定的正整数k。你必须找到p 和q。

输入：

35 1
121 1
1000730021 9

输出：

5 * 7
11 * 11
10007 * 100003

这不是家庭作业，我们只是想解决一些有趣的问题。如果您有任何想法，请在此处发布，以便我们尝试一下，谢谢。

【问题讨论】：

en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization
嗯....也许可以将其移至 www.solvemyproblemoverflow.com
提示：q≈kp，所以 n=pq≈kp²。换言之，p≈√(n/k)。把“≈”变成精确的界限，你就有了你的算法。
输入格式是什么：n k？
这听起来有点像 projecteuler.net 的问题。

标签： algorithm rsa factorization

【解决方案1】：

对于您在此处谈论的大小的数字，最快的因式分解方法是（可能）使用埃拉托色尼筛法生成大约为该数字平方根的素数，然后使用试除法找出哪个one(s) 是除数。

已经为更大的数字发明了相当多的因式分解方法。您可能想在 Google 上搜索“Fermat 因子分解法”、“Pollard Rho”、“Brent 法”、“Lenstra 椭圆曲线”、“多项式二次筛”和“一般数域筛”。我已经按照（大致）复杂性和分解更大数字的能力的升序列出了这些。不过，我是否应该提及通用数字域筛是有待商榷的——虽然它是目前已知的用于分解极大数字的最有效方法，但它只适用于非常大的机器——低于大约 110 位左右，MPQS速度更快，但要考虑 GNFS 更快的大量数字，您需要比典型台式机或服务器支持更多的内存（将 TB 的 RAM 视为最低起点，但可能不止于此）。

【讨论】：

【解决方案2】：

我使用了ECM 方法来分解大整数。它是已知的最有效的算法之一。如果你想了解算法是如何工作的，那么你有很多阅读要做，但是如果你想利用它来做你的研究，有些人已经实现了它。例如，您可以获得这些开源包：GMP-ECM 用于 C/C++ 或 Pyecm 用于 Python。

$ python
>>> import math
>>> import pyecm
>>> n = 1000730021
>>> list(pyecm.factors(n, False, False, 2 * math.log(math.log(n)), 1.0))
[10007, 100003]

【讨论】：

【解决方案3】：

n = p * q 
|q-k*p|<10^5

n 和 k 作为输入。因此

q-k*p=a

与

-10^5<=a<=10^5

将q-k*p=a 乘以q 并用n 代入p*q 得到

q^2-a*q-k*n=0

用

求解每个 a 的这个二次方程

-10^5<=a<=10^5`

并检查q 是否除以n。求解二次方程可以在多项式时间内完成，求解2*10^5+1 方程也是如此。对于 n 和 k 的小值以及 n 和 k 的大值当然有更好的算法。

正如 ypercube 所提到的，人们只需检查方程式，其中

a^2+4*k*n

是一个正方形。

【讨论】：

+1 不错！因此，检查Δ = a^2+4*k*n 是否为方形会更快。

【解决方案4】：

n = p * q 和 |q-k*p|

p在区间内

[(sqrt(k*n+2500000000)-50000)/k,(sqrt(k*n+2500000000)+50000)/k]

因此，您只能检查 p 的 10^5/k 值。 q在区间内

[sqrt(k*n+2500000000)-50000,sqrt(k*n+2500000000)+50000]

它总是包含大约 10^5 个 inegers

【讨论】：

【解决方案5】：

您可以使用http://qurancode.com 的基于 GUI 的 YAFU 版本来尝试更大的示例。 YAFU 的主要优点是它的自适应特性，它可以在分解时自动切换算法。使用适用于 Windows 7/8/10 的 GUI 版本确实是最好的和更容易的。

只需点击被红心圈起来的黄色 PI 符号 :)

【讨论】：